があるでしょうか。
n=3、4、5 のときの数値計算から予想しました。
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Mを正方行列とするとき、Mの逆行列をinv(M)、Mの余因子行列をadj(M)と表す。
n次の正則行列Pが与えられているとき、sim(・)を次のように定める。
n次正方行列Mに対して、sim(M) = inv(P)MP とする。
n次元の行ベクトルxに対して sim(x) = xP とする。
n次元の列ベクトルyに対して sim(y) = inv(P)y とする。
n次正方行列Mから第i行と第j列を取り除いて得られる小行列をM[i,j]と書くことにする。
n次元行ベクトルxからk番目の成分を取り除いて得られるn-1次元行ベクトルをx'[k]と書くこ
とにする。
n次元列ベクトルyからk番目の成分を取り除いて得られるn-1次元列ベクトルをy'[k]と書くこ
とにする。
n≧3とする。
n次元行ベクトルx、n次正方行列M、n次元列ベクトルy が与えられたときに定まる行列
R(x,M,y)を次のように定義する。
R(x,M,y)の(i,j)成分をr[i,j]とするとき、r[i,j] = x'[i]((-1)^(i+j)*adj(M[j,i]))y'[j] とする。
このとき、R(sim(x),sim(M),sim(y)) = sim(R(x,M,y)) が成り立つ。
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という予想です。
命題の中身を言葉で表すと、行列R(x,M,y)に対して変換行列Pによる基底の変換が矛盾な
く適用されるかという感じになるかと思います。
DD++ さんからのコメントです。（令和７年１０月３１日付け）
実行してない思いつきですが……。
i 行目の削除を「単位行列からi行目を消した行列S[i]を左から掛ける演算」として書き、j 列
目の削除も同様に、というのがとりあえず自然な発想に見えますよね。
adj の中に正方でない行列の積が入っちゃうからこの先が難しいかな？
