正七角形の頂点と対角線の交点で作られる三角形について、少なくとも２つの頂点が正七
角形の頂点であるような異なる三角形は何個あるか。
という問題が問われた。
ただ、そこに与えられた解答は正七角形の７つの頂点と中に発生する交点から３点を選ん
で作られる三角形とみて解いたものであった。しかし、この文章からは正七角形と引かれた
全対角線の状態においての三角形として考えるべきではないかと思われてしまいます。
そこで皆さんへ、上記の解釈と、下記での解釈をした場合のそれぞれの個数を求めて頂き
たいのですが・・・。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年９月１３日付け）
後者「正七角形と引かれた全対角線の状態においての三角形」の意味が理解できません。
前者「正七角形の７つの頂点と中に発生する交点から３点を選んで作られる三角形」との
違いを教えて下さい。
（前者のみに含まれるもの、あるいは後者のみに含まれるものの例をお願いします。）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年９月１３日付け）
後者の意味は、「正七角形と引かれた全対角線の状態」においては対角線によって中に
３５個の交点が発生し、中心部では小さい正七角形が作られている図形が現れてきます。
従って、考えられる三角形は今の状態において図の中に発見できるものに限っての三角
形をカウントすることになります。
ですから、中心部の小さい正七角形の交点の7つから3つを選んで出来る三角形は対象外
にする、つまり、前者は、出来た交点を元に作られる三角形の総数で、後者は、出来た図形
に含まれる三角形の形状の総数のニュアンスです。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年９月１３日付け）
それならば、とりあえず元の問題文が「正七角形の頂点と対角線の交点で作られる三角形
について」のように「点で作られる」三角形と言っていますので、元の問題の解釈は前者です
ね。
# 対象が「点」のみのため「辺」や「対角線」は関係ない、つまり、辺や対角線がなく42個の点
が散らばっている状態から（一直線上にない）3点を選んで結び、三角形を描くということにな
ると思います。
もし後者の解釈ならば、「点」に言及する必要がありませんので、「正七角形の辺と対角線
で作られる三角形」と表現されると思います。
後者の場合、考え違いがなければ、
3点が正七角形の頂点 → 7C3個
2点が正七角形の頂点 → 7C4×4個
計175個
となる気がします。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年９月１４日付け）
2点が正七角形の頂点 → 7C4×4個
この計算式だけで処理可能な理由を解説して下さい。できたら前者の場合の計算方法も教
えて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年９月１４日付け）
２点が正七角形の頂点で残り１点が対角線の交点、かつ、その対角線が最初の２点から出
ている線ならば、それら２本の対角線の反対側は正七角形の頂点なわけで、そうすると、これ
ら４つの頂点と対角線の交点から４つの三角形が構成されることがわかります。
この対応には重複はありませんので、7C4×4 で計算されることになります。
前者の計算は、対角線の交点が２頂点を通る直線上にある場合も含めると、全部で
7C2×35個で、このうち対角線の交点が２頂点を通る直線上にあるものは、交点１つにつき
２回数えられているので、１頂点が対角線の交点であるものは、7C2×35−35×2=665個
すべて正七角形の頂点であるものは、7C3=35個なので、求める個数は、665＋35=700個
以下、工事中！
