す整数解(x,y,z)はそれぞれ何か？
(1) A+C=B+25
(2) A+B=C+7
(3) B+C=A+77
なるだけ、これを論理的に求めるテクニックを示しながらお願いします。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年８月２８日付け）
普通の解き方ですが、
(1) x+y+z+xyz=xy+yz+zx+25
整理して、(x-1)(y-1)(z-1)=24
∴ (x,y,z)=(2,2,25),(2,3,13),(2,4,9),(2,5,7),(3,3,7),(3,4,5)
(2) x+y+z+xy+yz+zx=xyz+7
x≧4 とすると、x+y+z+xy+yz+zx≦z+z+z+yz+yz+yz=3z+3yz＜yz+3yz=4yz≦xyz＜xyz+7
となり、式が成り立たないので、x≦3
x=1 のとき、1+y+z+y+yz+z=yz+7 より、y+z=3
∴ y=1,z=2なので(x,y,z)=(1,1,2)
x=2 のとき、2+y+z+2y+yz+2z=2yz+7 より、(y-3)(z-3)=4
∴ (y,z)=(4,7),(5,5) なので、(x,y,z)=(2,4,7),(2,5,5)
x=3 のとき、3+y+z+3y+yz+3z=3yz+7 より、(y-2)(z-2)=2
∴ (y,z)=(3,4) なので、(x,y,z)=(3,3,4)
従って、答えは、(x,y,z)=(1,1,2),(2,4,7),(2,5,5),(3,3,4)
(3) xy+yz+zx+xyz=x+y+z+77
x(y-1)+y(z-1)+z(x-1)+xyz=77 より、xyz≦77 ∴ x≦4
x=1 のとき、y+yz+z+yz=1+y+z+77 より、yz=39
∴ (y,z)=(1,39),(3,13) なので、(x,y,z)=(1,1,39),(1,3,13)
x=2 のとき、2y+yz+2z+2yz=2+y+z+77 より、(3y+1)(3z+1)=238=2×7×17
∴ (y,z)=(2,11) なので、(x,y,z)=(2,2,11)
x=3 のとき、3y+yz+3z+3yz=3+y+z+77 より、(2y+1)(2z+1)=81
∴ (y,z)=(4,4) なので、(x,y,z)=(3,4,4)
x=4 のとき、4y+yz+4z+4yz=4+y+z+77 より、5yz+3y+3z=81 すなわち、25yz+15y+15z=405
(5y+3)(5z+3)=414 で、4≦y≦z から、(左辺)≧23^2=529 なので、解なし
従って、答えは、(x,y,z)=(1,1,39),(1,3,13),(2,2,11),(3,4,4)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年８月３０日付け）
鮮やかな解答ありがとうございました。
(1)で、 解と係数と何か結びつけられないものか？とあれこれ思案して30分ほどしてやっと
この式に辿り着けました。
(2)の x の評価をこの様に鮮やかに思いつけるのが私には驚きです。
(3)も x の評価の仕方が目から鱗です。
なお、これらに使っている定数 25,7,77 は、x≦y≦z≦100 の範囲でプログラム的に全解を
調査した後、出題として解が多様に散らばるものを選んで設定しておりました。
自分だけで回答する手段とこうして他人の方法を比較することで、如何に改善の余地を秘
めているのかを痛切に感じられて、とても参考になります。
以下、工事中！
