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二次式 X（X＋１）＋41 で、Xに、0 から 39 の４０個の数に対して、連続して全て素数に
なるという。オイラーが見つけた式で、同じような X（X＋１）＋P（素数）として最長のようです。
式の形、係数を、変えても最長でしょうか？もっと長く、連続して素数を生み出す式がありま
すか？
らすかるさんからのコメントです。（令和７年８月２２日付け）
あまり意味のない式ですが、例えば、X(X - 79 ) + 1601 は、X=0〜79 の８０個で素数にな
ります。
一次式であれば、いくらでも長い連続があることは証明されています。
（ただし、具体値は最長で27連続ぐらいまでしか見つかっていません。）
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年８月２３日付け）
らすかるさん、ありがとうございます。らすかるさんの式は、４０横へ平行移動して得ること
ができました。元の式は、連続でなくても他の数でも素数になりますね。やはり、特別感があ
ります。
二次の項の係数を変えて、AX^2＋BX＋C の形では何か新しい結果、ないでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和７年８月２４日付け）
小さい数については探索してみましたが、40個も連続するものは他に見つかりませんでし
た。他で見つかった最大は、2x^2+29 の29連続(x=0〜28)です。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年８月２４日付け）
邪道ですが、次の様な二次式では途中マイナスの符号は取るが、値としては素数を堅持
するものも何とか認めてやると、連続45とか43とかはいるようです。
gp > f1(x)=36*x^2-810*x+2753
gp > for(x=0,45,print(x";"f1(x)" ; "isprime(f1(x))))
| 0;2753 ; 1 1;1979 ; 1 2;1277 ; 1 3;647 ; 1 4;89 ; 1 5;-397 ; 0 (マイナスを除くと素数となる) 6;-811 ; 0 7;-1153 ; 0 8;-1423 ; 0 9;-1621 ; 0 10;-1747 ; 0 11;-1801 ; 0 12;-1783 ; 0 13;-1693 ; 0 14;-1531 ; 0 15;-1297 ; 0 16;-991 ; 0 17;-613 ; 0 18;-163 ; 0 19;359 ; 1 20;953 ; 1 21;1619 ; 1 22;2357 ; 1 |
23;3167 ; 1 24;4049 ; 1 25;5003 ; 1 26;6029 ; 1 27;7127 ; 1 28;8297 ; 1 29;9539 ; 1 30;10853 ; 1 31;12239 ; 1 32;13697 ; 1 33;15227 ; 1 34;16829 ; 1 35;18503 ; 1 36;20249 ; 1 37;22067 ; 1 38;23957 ; 1 39;25919 ; 1 40;27953 ; 1 41;30059 ; 1 42;32237 ; 1 43;34487 ; 1 44;36809 ; 1 45;39203 ; 0 |
gp > f2(x)=47*x^2-1701*x+10181
gp > for(x=0,45,print(x";"f2(x)" ; "isprime(f2(x))))
| 0;10181 ; 1 1;8527 ; 1 2;6967 ; 1 3;5501 ; 1 4;4129 ; 1 5;2851 ; 1 6;1667 ; 1 7;577 ; 1 8;-419 ; 0 (マイナスを除くと素数となる) 9;-1321 ; 0 10;-2129 ; 0 11;-2843 ; 0 12;-3463 ; 0 13;-3989 ; 0 14;-4421 ; 0 15;-4759 ; 0 16;-5003 ; 0 17;-5153 ; 0 18;-5209 ; 0 19;-5171 ; 0 20;-5039 ; 0 21;-4813 ; 0 |
22;-4493 ; 0 23;-4079 ; 0 24;-3571 ; 0 25;-2969 ; 0 26;-2273 ; 0 27;-1483 ; 0 28;-599 ; 0 29;379 ; 1 30;1451 ; 1 31;2617 ; 1 32;3877 ; 1 33;5231 ; 1 34;6679 ; 1 35;8221 ; 1 36;9857 ; 1 37;11587 ; 1 38;13411 ; 1 39;15329 ; 1 40;17341 ; 1 41;19447 ; 1 42;21647 ; 1 43;23941 ; 0 |
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