の棲家                            ks 氏

 「a、bを自然数とするとき、b/a と (2a+b)/(a+b) との間にが存在する」(名古屋市大)
そうですが、は、どのような式の間にあるでしょうか?


 らすかるさんからのコメントです。(令和7年8月15日付け)

 は、b/a と (3a+b)/(a+b) の間にあると思います。

 より一般に、√n は、b/a と (na+b)/(a+b) の間にあると思います。


 りらひいさんからのコメントです。(令和7年8月16日付け)

 a、b は正の数で、a√n ≠ b であるとき、p√n > q を満たす正の数 p、q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。

 よって、次のようにいろいろ作れそうですね。

  は b/a と 3(2a+b)/(3a+2b) の間にある。

  は b/a と (9a+5b)/(5a+3b) の間にある。

  は b/a と 3(7a+4b)/(12a+7b) の間にある。


(コメント) =1.732050807・・・ に対して、a=3、b=5 とすると、

 b/a=1.66666・・・ 、3(7a+4b)/(12a+7b) =123/71=1.732394366・・・

なので、確かに、「 は b/a と 3(7a+4b)/(12a+7b) の間にある。」と言えますね!


 Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。(令和7年8月17日付け)

 連分数展開と関係しているのかもしれませんね


 GAI さんからのコメントです。(令和7年8月17日付け)

 p√n > q を満たす正の数 p、q に対して、(n*p*a+q*b)/(q*a+p*b) の分数がどの様な形を
成すのかを調べて行くと(但し、n=3 として調査したもの)、

[p,q]=[2,3]=>(6*a+3*b)/(3*a+2*b)
[p,q]=[3,4]=>(9*a+4*b)/(4*a+3*b)
[p,q]=[3,5]=>(9*a+5*b)/(5*a+3*b)

[4,5]
[4,6]

[5,6]
[5,7]
[5,8]

[6,7]
[6,8]
[6,9]
[6,10]

[7,8]
・・・・・・

の様に、各 p に対して分数を構成可能な q の最大値を追っていくと、

 3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24,25,・・・・・

 この数列がちょうど「A022838」;Beatty sequence for sqrt(3) に対応する数列と繋がって
いました。

 sqrt(3)繋がりでちょっと面白く感じました。


 りらひいさんからのコメントです。(令和7年8月18日付け)

 a、b は正の数で、a√n ≠ b であるとき、p√n > q を満たす正の数 p、q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。

 証明を書いておきましょう。簡単なので。

Y = (√n - b/a) * (√n - (npa+qb)/(qa+pb))
= (√n - b/a) * (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - b/a) * (√n - q/p)
= (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - q/p) * (√n - b/a)^2

とおく。ここで、

 pa/(qa+pb) > 0 、√n - q/p > 0 、(√n - b/a)^2 > 0

なので、Y < 0 となり、

 「√n > b/a かつ √n < (npa+qb)/(qa+pb)」

あるいは

 「√n < b/a かつ √n > (npa+qb)/(qa+pb)」

 のいずれかが成り立ち、√n が b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にあることがわかる。



  以下、工事中!



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