が存在する」（名古屋市大）そうですが、
は、どのような式の間にあるでしょうか？らすかるさんからのコメントです。（令和７年８月１５日付け）
は、b/a と (3a+b)/(a+b) の間にあると思います。より一般に、√n は、b/a と (na+b)/(a+b) の間にあると思います。
りらひいさんからのコメントです。（令和７年８月１６日付け）
a、b は正の数で、a√n ≠ b であるとき、p√n > q を満たす正の数 p、q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。
よって、次のようにいろいろ作れそうですね。
は b/a と 3(2a+b)/(3a+2b) の間にある。 は b/a と (9a+5b)/(5a+3b) の間にある。 は b/a と 3(7a+4b)/(12a+7b) の間にある。（コメント）
＝１．７３２０５０８０７・・・ に対して、ａ＝３、ｂ＝５ とすると、ｂ/ａ＝１．６６６６６・・・ 、3(7a+4b)/(12a+7b) ＝１２３/７１＝１．７３２３９４３６６・・・
なので、確かに、「
は b/a と 3(7a+4b)/(12a+7b) の間にある。」と言えますね！Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年８月１７日付け）
連分数展開と関係しているのかもしれませんね
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年８月１７日付け）
p√n > q を満たす正の数 p、q に対して、(n*p*a+q*b)/(q*a+p*b) の分数がどの様な形を
成すのかを調べて行くと（但し、n=3 として調査したもの)、
[p,q]=[2,3]=>(6*a+3*b)/(3*a+2*b)
[p,q]=[3,4]=>(9*a+4*b)/(4*a+3*b)
[p,q]=[3,5]=>(9*a+5*b)/(5*a+3*b)
[4,5]
[4,6]
[5,6]
[5,7]
[5,8]
[6,7]
[6,8]
[6,9]
[6,10]
[7,8]
･･････
の様に、各 p に対して分数を構成可能な q の最大値を追っていくと、
3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24,25,･････
この数列がちょうど「A022838」;Beatty sequence for sqrt(3) に対応する数列と繋がって
いました。
sqrt(3)繋がりでちょっと面白く感じました。
りらひいさんからのコメントです。（令和７年８月１８日付け）
a、b は正の数で、a√n ≠ b であるとき、p√n > q を満たす正の数 p、q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。
証明を書いておきましょう。簡単なので。
Y = (√n - b/a) * (√n - (npa+qb)/(qa+pb))
= (√n - b/a) * (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - b/a) * (√n - q/p)
= (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - q/p) * (√n - b/a)^2
とおく。ここで、
pa/(qa+pb) > 0 、√n - q/p > 0 、(√n - b/a)^2 > 0
なので、Y < 0 となり、
「√n > b/a かつ √n < (npa+qb)/(qa+pb)」
あるいは
「√n < b/a かつ √n > (npa+qb)/(qa+pb)」
のいずれかが成り立ち、√n が b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にあることがわかる。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年８月２８日付け）
b/a と (2a+b)/(a+b) の間に
があり、(2a+b)/(a+b) に近いことを踏まえて、これを繰り返して、a=b=1 で、具体的に分数の近似を計算しました。
1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70.239/169, 577/408,1393/985, 3363/2378, 8119/5741,
19601/13860, 47321/33461=１.４１４２１３５６２…
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年９月１日付け）
b/a と (ma+b)/(a+b) に間に√mがあり、(ma+b)/(a+b)が極限値をαをもつならば、これを
繰り返して、x(n)=b(n)/a(n)→α と置くと、x(n+1)=(m+x(n))/(1+x(n)) から、
α＝（ｍ＋α）/(1＋α） より、α^2=m となり、α＝√ｍ を得る。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年９月２日付け）
３乗根の場合は、どうなりますか？例えば、２の３乗根。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年９月３日付け）
2^(1/3) は、b/a と (2a^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間にあります。
n^(1/3) は、b/a と (na^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間です。
（コメント） b/a → α とすると、 (2a^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) → α
すなわち、 （２＋α＋α2）/（１＋α＋α2）＝α から、α3＝２ となり、 α＝
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年９月３日付け）
似たような式ですが、（2a^2+a*b）/(a^2+b^2)も、２の三乗根に収束すると思いますが、効
率的でなくて、直ぐに、オーバーフローします。素数のウィルソンの公式みたいに効率的で
ないこともありますね。
以下、工事中！
