・進数表示の小数             うんざりはちべえ氏

 進数表示の小数は量子化されている。(たとえば、10進小数は量子化されている)

 0.9999・・・=1 とする。1は有理数なので、0.9999・・・も有理数。よって、

         9999999999999999999・・・
0.9999・・・=------------------------------------------
        10000000000000000000・・・

また、0.9999・・・=1 より、

         9999999999999999999・・・
0.9999・・・=-----------------------------------=1
        10000000000000000000・・・

よって、 9999999999999999999・・・=10000000000000000000・・・

 ところで、左辺の各桁の数の和は9の和であるから左辺は9の倍数。
ところが、右辺は10の倍数。よって矛盾となり、0.9999・・・=1ではない。

ゆえに、 0.9999・・・≠1

したがって、1−0.999・・・=β

さて、β>1ー1/n (ただし nは自然数)があるとする。(すなわち、0.999・・・<1/n)

1ー0.999・・・>1ー1/n=1ー0.9999・・・p
1ー0.999・・・>1ー0.9999・・・p
0.999・・・<0.9999・・・p=1/n

 また、pは10進数の定義により、0から9のいずれかでなければならない。

 ところが、0.999・・・はすべて9なので、0.9999・・・pを満たす9よりおおきなpは存在しない。

 よって、0.999・・・=0.9999・・・p で、したがって、1/nは存在しない。

 つまり、0.999・・・と1の間に0.999・・・よりおおきな1/nがあるということはない。つまり、
間をつなぐものはないという事で、連続でない(0.9999・・・≠1より明らかである)、それは離
れているという事である。(β>0)

 これは、どういうことかというと10進小数は量子化されているという事である。

追記:もちろん、何進数でも、成り立ちます。

 たとえば、m+1進数なら、0.mmmmm・・・≠1

 たとえば、8=7+1進数なら、0.7777・・・≠1

 たとえば、5=4+1進数なら、0.4444・・・≠1


 うんざりはちべえさんからのコメントです。(令和7年8月15日付け)

 m+1進数において、位取り記法では、定義によって、0.mmm・・・・<1 (ただし、位取り記法
の各桁の値がmのとき、0.mmm・・・・の次は桁上がりして1であるから)

 さて、もし仮に、1と0.mmm・・・・の間に0.mmm・・・pという小数があるとすると、
0.mmm・・・・<0.mmm・・・p<1

 ところで、ある桁のpはm+1進数なので定義によって0〜mでなければならない。

しかし、0.mmm・・・・はすべての桁がmなので、ある桁のpはm+1でなければならないが、それ
はm+1進数の定義によって不可能である。

 したがって、0.mmm・・・pは存在しない。

 また、0.mmm・・・・<1より、1ー0.mmm・・・・=β>0

 ゆえに、m+1進数において、小数は量子化されている。



  以下、工事中!



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