進数表示の小数は量子化されている。(たとえば、10進小数は量子化されている)
0.9999・・・=1 とする。1は有理数なので、0.9999・・・も有理数。よって、
9999999999999999999・・・
0.9999・・・=------------------------------------------
10000000000000000000・・・
また、0.9999・・・=1 より、
9999999999999999999・・・
0.9999・・・=-----------------------------------=1
10000000000000000000・・・
よって、 9999999999999999999・・・=10000000000000000000・・・
ところで、左辺の各桁の数の和は9の和であるから左辺は9の倍数。
ところが、右辺は10の倍数。よって矛盾となり、0.9999・・・=1ではない。
ゆえに、 0.9999・・・≠1
したがって、1−0.999・・・=β
さて、β>1ー1/n (ただし nは自然数)があるとする。(すなわち、0.999・・・<1/n)
1ー0.999・・・>1ー1/n=1ー0.9999・・・p
1ー0.999・・・>1ー0.9999・・・p
0.999・・・<0.9999・・・p=1/n
また、pは10進数の定義により、0から9のいずれかでなければならない。
ところが、0.999・・・はすべて9なので、0.9999・・・pを満たす9よりおおきなpは存在しない。
よって、0.999・・・=0.9999・・・p で、したがって、1/nは存在しない。
つまり、0.999・・・と1の間に0.999・・・よりおおきな1/nがあるということはない。つまり、
間をつなぐものはないという事で、連続でない(0.9999・・・≠1より明らかである)、それは離
れているという事である。(β>0)
これは、どういうことかというと10進小数は量子化されているという事である。
追記:もちろん、何進数でも、成り立ちます。
たとえば、m+1進数なら、0.mmmmm・・・≠1
たとえば、8=7+1進数なら、0.7777・・・≠1
たとえば、5=4+1進数なら、0.4444・・・≠1
うんざりはちべえさんからのコメントです。(令和7年8月15日付け)
m+1進数において、位取り記法では、定義によって、0.mmm・・・・<1 (ただし、位取り記法
の各桁の値がmのとき、0.mmm・・・・の次は桁上がりして1であるから)
さて、もし仮に、1と0.mmm・・・・の間に0.mmm・・・pという小数があるとすると、
0.mmm・・・・<0.mmm・・・p<1
ところで、ある桁のpはm+1進数なので定義によって0〜mでなければならない。
しかし、0.mmm・・・・はすべての桁がmなので、ある桁のpはm+1でなければならないが、それ
はm+1進数の定義によって不可能である。
したがって、0.mmm・・・pは存在しない。
また、0.mmm・・・・<1より、1ー0.mmm・・・・=β>0
ゆえに、m+1進数において、小数は量子化されている。
以下、工事中!