0.9999・・・＝１ とする。１は有理数なので、0.9999・・・も有理数。よって、
9999999999999999999・・・
0.9999・・・=------------------------------------------
10000000000000000000・・・
また、0.9999・・・＝１ より、
9999999999999999999・・・
0.9999・・・=-----------------------------------＝１
10000000000000000000・・・
よって、 9999999999999999999・・・＝10000000000000000000・・・
ところで、左辺の各桁の数の和は９の和であるから左辺は９の倍数。
ところが、右辺は10の倍数。よって矛盾となり、0.9999・・・＝１ではない。
ゆえに、 0.9999・・・≠１
したがって、１−0.999・・・＝β
さて、β＞1ー1/n (ただし nは自然数）があるとする。（すなわち、0.999・・・＜1/n）
1ー0.999・・・＞1ー1/n=1ー0.9999・・・p
1ー0.999・・・＞1ー0.9999・・・p
0.999・・・＜0.9999・・・p＝1/n
また、pは10進数の定義により、０から9のいずれかでなければならない。
ところが、0.999・・・はすべて9なので、0.9999・・・ｐを満たす9よりおおきなpは存在しない。
よって、0.999・・・＝0.9999・・・p で、したがって、1/nは存在しない。
つまり、0.999・・・と１の間に0.999・・・よりおおきな1/nがあるということはない。つまり、
間をつなぐものはないという事で、連続でない(0.9999・・・≠１より明らかである)、それは離
れているという事である。（β＞０）
これは、どういうことかというと10進小数は量子化されているという事である。
追記：もちろん、何進数でも、成り立ちます。
たとえば、m+1進数なら、0.mmmmm・・・≠1
たとえば、8=7+1進数なら、0.7777・・・≠1
たとえば、5=4+1進数なら、0.4444・・・≠1
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和７年８月１５日付け）
m+1進数において、位取り記法では、定義によって、0.mmm・・・・＜１ （ただし、位取り記法
の各桁の値がmのとき、0.mmm・・・・の次は桁上がりして１であるから）
さて、もし仮に、１と0.mmm・・・・の間に0.mmm・・・pという小数があるとすると、
0.mmm・・・・＜0.mmm・・・p＜１
ところで、ある桁のpはm+1進数なので定義によって0〜mでなければならない。
しかし、0.mmm・・・・はすべての桁がmなので、ある桁のpはm+1でなければならないが、それ
はｍ＋１進数の定義によって不可能である。
したがって、0.mmm・・・pは存在しない。
また、0.mmm・・・・＜１より、1ー0.mmm・・・・＝β>0
ゆえに、m+1進数において、小数は量子化されている。
以下、工事中！
