(1) a^2 + b^2 ≧ 2ab であることを（左辺から右辺を引く方法で）証明してください。
(2-1) 前問の結果を利用して、(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c) であることを証明してください。
(2-2) 前問の結果を利用して、
(a^3 + b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c) であることを証明してください。
(2-3) 前問の結果の、右辺の分母がcではなくaやbであるものも同様に作り、それら3つを足
し合わせることで「あの関係式」の3変数の場合を証明してください。
(3-1) 前問の結果を利用して、
(a/b)(a/c)(a/d) ≧ 3(a/d) - (b/d) - (c/d) であることを証明してください。
(3-2) 前問の結果を利用して、
(a^4 + b^4 + c^4)/(abcd) ≧ (a/d) + (b/d) + (c/d) であることを証明してください。
(3-3) 前問の結果の、右辺の分母がdではなくaやbやcであるものも同様に作り、それら4つ
を足し合わせることで「あの関係式」の4変数の場合を証明してください。
(4以降) 同様に、お好きなところまでどうぞ。もしくは数学的帰納法で2以上の任意のnまで
どうぞ。
ざっと検索した感じ、同様の方法で証明した例は見当たりませんでした。
先行例はあるでしょうか？
DD++ さんからのコメントです。（令和７年７月９日付け）
数日経ちましたので、解答を。「あの関係式」とは相加平均と相乗平均の大小関係でした。
(1) 左辺 - 右辺＝(a^2+b^2) - 2ab＝(a-b)^2 ≧ 0
(2-1) (1) の結果 A2＋Ｂ2≧２ＡＢ で、A2＝(a/b)(a/c) 、Ｂ2＝(b/c) と書き換えると、
A2Ｂ2＝(a/b)(a/c)*(b/c)＝(a/c)^2 となることから、ＡＢ＝a/c となる。
よって、 (a/b)(a/c) + (b/c) ≧ 2(a/c) すなわち、 (a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c)
(2-2) (2-1) の結果で、a と b を入れ替えたものを並べると、
(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c) 、(b/a)(b/c) ≧ 2(b/c) - (a/c)
これらの両辺を足すと、 (a^3 + b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c)
(2-3) (2-2) の結果で文字をサイクリックに入れ替えて、
(a^3 + b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c) 、(b^3 + c^3)/(abc) ≧ (b/a) + (c/a)
(c^3 + a^3)/(abc) ≧ (c/b) + (a/b)
これらを全て加えて、2*(a^3 + b^3 + c^3)/(abc) ≧ (a/b + b/a) + (b/c + c/b) + (c/a + a/c)
右辺は (1) の関係式を使えば、(a/b + b/a) + (b/c + c/b) + (c/a + a/c) ≧ 2 + 2 + 2 = 6
となるので、 2*(a^3 + b^3 + c^3)/(abc) ≧ 6 すなわち、 a^3 + b^3 + c^3 ≧ 3abc
(3) も同様。
任意のn個の変数に対する証明は、双方向に進む帰納法か、解析方面の知識を頼るか、
大体そのどちらかです。
純粋な四則演算と累乗だけで1つずつ前進する帰納法は書けないもんなの？と長年思っ
ていましたが、ふと解決したので投稿した次第でした。
簡単に思いつくものですかと言われると、えーと、うん、まあ……ね。
（コメント） DD++ さん、解答をありがとうございます。しばらく寝かせてありましたが、(3-1)の
証明で挫折していました。なるほど、斬新な方法ですね！勉強になりました。
証明を私なりに整理してみました。
（証明） (1) a^2 + b^2 − 2ab ＝（ａ−ｂ）^2≧０ から、 a^2 + b^2 ≧ 2ab
(2-1) (1)の両辺を ｂｃ で割って、 a^2/ｂｃ + b/ｃ ≧ 2a/ｃ より、 (a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c)
(2-2) (a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c) 、(b/a)(b/c) ≧ 2(b/c) - (a/c) を辺々加えて、
(a^3 + b^3)/(abc) ＝ (a/b)(a/c) + (b/a)(b/c) ≧ (a/c) + (b/c) である。
(2-3) (a^3 + b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c) 、(b^3 + c^3)/(abc) ≧ (b/a) + (c/a) 、
(c^3 + a^3)/(abc) ≧ (c/b) + (a/b)
これらを辺々加えて、 2(a^3 + b^3 + c^3)/(abc) ≧ (b + c)/a + (c + a)/b + (a + b)/c
ここで、
(b + c)/a + (c + a)/b + (a + b)/c＝｛(b/a) + (a/b)｝＋｛(c/b) + (b/c)｝＋｛(a/c) + (c/a)｝≧６
なので、 a^3 + b^3 + c^3 ≧ ３abc
(3-1) 前問の結果から、 Ａ^3 + Ｂ^3 + Ｃ^3 ≧ ３ＡＢＣ
ここで、 Ａ^3＝(a/b)(a/c)(a/d) 、Ｂ^3＝b/d 、Ｃ^3＝c/d とおくと、
Ａ^3Ｂ^3Ｃ^3＝（a/d）^3 より、 ＡＢＣ＝a/d
よって、 (a/b)(a/c)(a/d)＋b/d＋c/d≧３（a/d） から、
(a/b)(a/c)(a/d) ≧ 3(a/d) - (b/d) - (c/d) （← この部分の証明方法は、DD++ さんによる）
(3-2) (a/b)(a/c)(a/d) ≧ 3(a/d) - (b/d) - (c/d)
(b/a)(b/c)(b/d) ≧ 3(b/d) - (a/d) - (c/d)
(c/a)(c/b)(c/d) ≧ 3(c/d) - (b/d) - (a/d)
を辺々加えて、(a^4 + b^4 + c^4)/(abcd) ≧ (a/d) + (b/d) + (c/d) である。
(3-3) (a^4 + b^4 + c^4)/(abcd) ≧ (a/d) + (b/d) + (c/d)
(d^4 + b^4 + c^4)/(abcd) ≧ (d/a) + (b/a) + (c/a)
(a^4 + d^4 + c^4)/(abcd) ≧ (a/b) + (d/b) + (c/b)
(a^4 + b^4 + d^4)/(abcd) ≧ (a/c) + (b/c) + (d/c) より、
3(a^4 + b^4 + c^4 + d^4)/(abcd)
≧｛(a/d) + (d/a)｝＋｛(b/d) + (d/b)｝＋｛(c/d) + (d/c)｝＋｛(b/a) + (a/b)｝＋｛(c/a) + (a/c)｝＋｛(c/b) + (b/c)｝
≧2*6＝12
から、 (a^4 + b^4 + c^4 + d^4)/(abcd) ≧ 4 すなわち、 a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≧ 4abcd
以下、工事中！
