ｎは自然数で、aとbが互いに素のとき、an+bの形の素数は無限に存在する。
これを部分的に限定した、例えば、5n+1、5n+2、5n+3、5n+4 のそれぞれの形の素数は無
限に存在するについて、証明はどうでしょうか？
（追記） ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年７月１１日付け）
ある本に、6n+5の素数が無限に存在する証明が載ってました。6n+1の素数も無限に存在
する事実は知られていますが、証明は難しいですか？
らすかるさんからのコメントです。（令和７年７月１７日付け）
6n+1型の素数が有限個(m個)と仮定し、p[1]〜p[m]とする。
a=6p[1]p[2]…p[m]、b=a^3+1 とすると、bは、2、3、6n+1型の素数で割り切れないので、bの
素因数は6n+5型のみ。
bの素因数の一つを q=6k+5 とすると、b≡0(mod q) なので、a^3≡-1 (mod q)
よって、a^(6k+3)≡(a^3)^(2k+1)≡-1 (mod q)
一方、フェルマーの小定理から、a^(q-1)=a^(6k+4)≡1 (mod q) なので、a≡-1 (mod q)
つまり、a^3+1 の素因数はすべて a+1 の素因数であることになるが、
b=a^3+1=(a+1)(a^2-a+1) で、a^2-a+1 の素因数も a+1 の素因数となり矛盾。
（∵a+1とa^2-a+1は互いに素）
従って、6n+1型の素数は無限個。
# もし上記の証明に誤りがありましたらご指摘下さい。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年７月２６日付け）
らすかるさん、いつも有難うごさいます。証明を試みましたが、力不足です。
以下、工事中！
