1/a^2+1/b^2=1/c^2 を満たす(a,b,c)を探すと、1/65^2+1/156^2=1/60^2 など存在はする
が探そうとするとなかなか苦労する。
そこで、1/a^2+1/b^2=1/c^2 の他の実例をいくつか発見願う。
一方
[2] a^2+b^2+c^2=d^2 を満たす整数組（a,b,c,d)は、
1^2+4^2+8^2=9^2 、2^2+3^2+6^2=7^2 、3^2+6^2+22^2=23^2 、4^2+7^2+32^2=33^2
等の様に、(a<b<cで d=c+1）でのパターンを真似て、1/a^2+1/b^2+1/c^2=1/d^2 なら
1/7^2+1/14^2+1/21^2=1/6^2、1/9^2+1/18^2+1/72^2=1/8^2、1/13^2+1/39^2+1/52^2=1/12^2
1/19^2+1/57^2+1/342^2=1/18^2、1/31^2+1/155^2+1/186^2=1/30^2
などの様に、(ただし 0<a<b<c で、d=a-1）の条件下での他の実例を探し出してほしい。
さらに、
[3] 1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2=1/e^2 (ただし 0<a<b<c<d で、e=a-1) の例を一つは見つ
けて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年５月２０日付け）
p^2+q^2=r^2 が成り立つとき、a=pr、b=qr、c=pq とすれば、1/a^2+1/b^2=1/c^2 が成り立
ちますね。
p^2+q^2=r^2 が成り立つ p、q、r の一般式は、p=m^2-n^2、q=2mn、r=m^2+n^2 と表せま
すので、
1/a^2+1/b^2=1/c^2 が成り立つ a、b、c の一般式は、
a=(m^2-n^2)(m^2+n^2)=m^4-n^4 、b=2mn(m^2+n^2) 、c=2mn(m^2-n^2)
と表せることになります。
同様に、p^2+q^2+r^2=s^2 が成り立つとき、a=pqs、b=prs、c=qrs、d=pqr とすれば、
1/a^2+1/b^2+1/c^2=1/d^2 が成り立ち、p^2+q^2+r^2=s^2 の一般式は、
p=|k^2+m^2-n^2| 、q=2kn 、r=2mn 、s=k^2+m^2+n^2
と表せます。
# この式の値を共通因数で割れば互いに素な全解が得られると思っていますが、証明してい
ませんので、もしかしたら全解は得られないかも知れません。
よって、1/a^2+1/b^2+1/c^2=1/d^2 の一般式は、
a=2kn|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2) 、b=2mn|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
c=4kmn^2(k^2+m^2+n^2) 、d=4kmn^2|k^2+m^2-n^2|
を共通因数で割って、
a=k|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2) 、b=m|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
c=2kmn(k^2+m^2+n^2) 、d=2kmn|k^2+m^2-n^2|
とすれば、（全解かどうかはわかりませんが）解はいくらでも生成できますね。
5項の場合も、
(k^2+l^2+m^2-n^2)^2+(2kn)^2+(2ln)^2+(2mn)^2=(k^2+l^2+m^2-n^2)^2
を使えば同様にできると思います。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年５月２１日付け）
一般式が作れるとは思ってもみませんでした。ピタゴラス数からのアクロバティックな変形
の妙技、感動しました。
自分なりに平方数の逆数での関係式をいろいろ作っていく中で特に美しく感じたものに、
1/333^2+1/444^2+1/555^2+1/740^2+1/888^2+1/999^2=1/216^2(=1/6^6)
を発見した時は小躍りして喜びました。また、今年に因み、
1/62^2+1/93^2+1/155^2+1/186^2+1/217^2+1/279^2+1/434^2+1/465^2+1/651^2+1/930^2
=1/45^2(=1/2025)
も成立可能。平方数の逆数和では様々な等式が起こせそうです。
４個の平方和の場合を使おうと思って、もし、p^2+q^2+r^2+s^2=t^2 を満たす自然数
(p,q,r,s,t)を見つけておけば、
a=p*q*r*t 、b=q*r*s*t 、c=r*s*p*t 、d=s*p*q*t
と置けば、
1/a^2+1/b^2;1/c^2+1/d^2
=(1/(p*q*r)^2+1/(q*r*s)^2+1/(r*s*p)^2+1/(s*p*q)^2)/t^2
=(s^2+p^2+q^2+r^2)/(p*q*r*s)^2/t^2=1/(p*q*r*s)^2
なので、e=p*q*r*s と置けば、1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2=1/e^2 が成立する。
ここに、一般的に、
(k^2+l^2+m^2-n^2)^2+(2*k*n)^2+(2*l*n)^2+(2*m*n)^2=(k^2+l^2+m^2+n^2)^2
が成立するので、
p=k^2+l^2+m^2-n^2 、q=2*k*n 、r=2*l*n 、s=2*m*n 、t=k^2+l^2+m^2+n^2
と置いて、これらを上の a、b、c、d、e へそれぞれ代入して共通因子4*k*n^2を払うと、
a(k.l.m,n)=l*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
b(k,l,m,n)=2*l*m*n*(k^2+l^2+m^2+n^2)
c(k,l,m,n)=l*m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
d(k,l,m,n)=m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
e(k,l,m,n)=2*l*m*n*(k^2+l^2+m^2-n^2)
になると思う。そこで、
a(2,2,3,4)=66 、b(2,2,3,4)=1584 、c(2,2,3,4)=198 、d(2,2,3,4)=99 、e(2,2,3,4)=48
ところが、1/66^2+1/1584^2+1/198^2+1/99^2=299/836352 となり、1/48^2=1/2304 と一
致しない？これが何故発生するのか？また、1/4^2=1/5^2+1/7^2+1/28^2+1/35^2 が起こる
のですが、この式は上の公式で求まるのでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和７年５月２１日付け）
＜最後の3行を除く回答＞
共通因子4*k*n^2を払うと
c=r*s*p*t は k で割り切れないと思います。よって、共通因子は 4*n^2 であり、正しくは、
a(k,l,m,n)=l*k*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
b(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*(k^2+l^2+m^2+n^2)
c(k,l,m,n)=l*m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
d(k,l,m,n)=k*m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
e(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*(k^2+l^2+m^2-n^2)
となり、これによって計算される
a(2,2,3,4)=132 、b(2,2,3,4)=3168 、c(2,2,3,4)=198 、d(2,2,3,4)=198 、e(2,2,3,4)=96
から、1/132^2+1/3168^2+1/198^2+1/198^2=1/96^2 が成り立つことがわかります。
＜最後の3行の回答＞
また、1/4^2=1/5^2+1/7^2+1/28^2+1/35^2 が起こるのですが、この式は上の公式で求ま
るのでしょうか？
a(k,l,m,n)=l*k*|(k^2+l^2+m^2)^2-n^4|
b(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*(k^2+l^2+m^2+n^2)
c(k,l,m,n)=l*m*|(k^2+l^2+m^2)^2-n^4|
d(k,l,m,n)=k*m*|(k^2+l^2+m^2)^2-n^4|
e(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*|k^2+l^2+m^2-n^2|
のように、負にならないように絶対値を付けておけば、
a(2,10,14,20)=1400000 、b(2,10,14,20)=7840000 、c(2,10,14,20)=9800000 、
d(2,10,14,20)=1960000 、e(2,10,14,20)=1120000
となり、これを最大公約数の280000で割れば、(a,b,c,d,e)=(5,28,35,7,4)が得られますね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年５月２１日付け）
あ〜、思い込んでると間違いに気付けない！
修正して、これから求まる(a,b,c,d,e)の5組を点検していたら、多くの場合共通の数を含むこ
とが起こりやすく、異なる5個に限定していたら、e=1〜1000の間には僅かに20パターンほどし
かなく、特に、e=960 では、
1/1008^2+1/3360^2+1/10080^2+1/20160^2=1/960^2
1/1296^2+1/1728^2+1/2592^2+1/12960^2=1/960^2
1/1260^2+1/1680^2+1/4032^2+1/5040^2=1/960^2
1/1290^2+1/1548^2+1/3870^2+1/123840^2=1/960^2
1/1206^2+1/1608^2+1/9648^2+1/192960^2=1/960^2
の様に、5通りも作り方が発生した。もう少し少ない数では、
1/23^2+1/46^2+1/92^2+1/230^2=1/20^2
1/46^2+1/92^2+1/184^2=1/460^2=1/40^2
1/62^2+1/310^2+1/465^2+1/620^2=1/60^2
1/74^2+1/148^2+1/185^2+1/222^2=1/60^2
1/148^2+1/296^2+1/370^2+1/444^2=1/120^2
1/155^2+1/248^2+1/310^2+1/930^2=1/120^2
1/185^2+1/370^2+1/740^2+1/1184^2=1/160^2
1/222^2+1/444^2+1/555^2+1/666^2=1/180^2
などが起きました。らすかるさんの投稿後になったので、これらも公式より発生可能なので
すね。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年５月２１日付け）
1/23^2+1/46^2+1/92^2+1/230^2=1/20^2 は、(k,l,m,n)=(1,2,4,5)
1/46^2+1/92^2+1/184^2=1/460^2=1/40^2 は、可約(上の2倍)
1/62^2+1/310^2+1/465^2+1/620^2=1/60^2 は、(k,l,m,n)=(2,3,15,14)
1/74^2+1/148^2+1/185^2+1/222^2=1/60^2 は、(k,l,m,n)=(2,3,6,5)
1/148^2+1/296^2+1/370^2+1/444^2=1/120^2 は、可約(上の2倍)
1/155^2+1/248^2+1/310^2+1/930^2=1/120^2 は、(k,l,m,n)=(1,3,6,4)
1/185^2+1/370^2+1/740^2+1/1184^2=1/160^2 は、(k,l,m,n)=(1,2,4,4)
1/222^2+1/444^2+1/555^2+1/666^2=1/180^2 は、可約(4つ上の3倍)
ですね。それから、1/4^2=1/5^2+1/7^2+1/28^2+1/35^2 は、(k,l,m,n)=(1,5,7,10) で十分でした。
(結果を4375で割る)
以下、工事中！
