たときは、２００くらいでしたが。確かに、有名なフェルマー点や、ナポレオン点などあります。
チェバの定理で、比を適当に変えればいくらでも作れそうです。中でも有名な、外心O、内心I、
重心G、垂心Hについて、考察しました。便宜上、鋭角三角形に限定します。（内部にあるため）
先ず、簡明な、△ABCについて、その辺の中点をD、E、Fとした場合、△ABCと△DEFの重
心は一致します。それで、△ABC（G）＝△DEF（G）と表記します。
次に、△ABCの外心をとります。各辺の中点で作る三角形の垂心を考えるとOに一致しま
す。したがって、△ABC（O）＝△DEF（H）
以前にも、似た内容を投稿しましたが、
「△ABC（□）＝△ＤＥＦ（☆） 但し、Ｄ、Ｅ、Ｆは、Ａ、Ｂ、Ｃに由来」を考察します。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年５月２１日付け）
△ABCの垂心をHとする。各辺の垂心の足をD、E、Fとすると、Hは、△DEFの内心になる。
したがって、△ABC（H）＝△DEF（I）
△ABCの内心を I とする。内接円の各辺との接点をD、E、Fとすると、I は、△DEFの外心
になる。したがって、△ABC（I）＝△DEF（O）
これで、H→I→O→H となりましたが、逆の I→H→O→I の場合、見つけていただけないで
しょうか？
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年５月２３日付け）
△ABCの外心をO、OA＝a、OB＝b、OC＝c とするとき、
重心 OG＝（a＋b＋c）/３
垂心 OH＝a＋b＋c なので、OH＝３OG （オイラー線）
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年５月２４日付け）
△ABCの外心（O）、垂心（H）、内心（I）、重心（G）の４個のうち、いずれかの二つが、一致
するとき、△ABCが正三角形であるための必要十分条件になります。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年５月２６日付け）
△ABCの垂心をHとする。Hの各辺による対称点をD、E、Fとする。△DEFの内心がHに一
致するので、△ABC（H）＝△DEF（I）
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年５月２７日付け）
△ABCの内心を Ｉ とする。Ｉ のそれぞれの辺対称な点をＤ、Ｅ、Ｆとする。△ＤＥＦの外心は、
Ｉ に一致するので、△ＡＢＣ（Ｉ）＝△ＤＥＦ（Ｏ）
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年５月２８日付け）
△ABCの外心をＯとする。各辺による、点Oの対称点をD、E、Fとすると、△DEFの垂心は、
Oに一致するので、△ABC（O）＝△DEF（H）
H→I→O→H となりましたが、逆順の例はないでしょうか？
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年５月２９日付け）
△ABCの垂心をHとする。Hから各辺への垂線の足の延長した線が、外接円と交わる点を
D、E、Fとすると、△DEFの内心は、Hに一致する。したがって、△ABC（H）＝△DEF（I）
（コメント） 証明してみた。
上図において、 ∠ＡＤＦ＝∠ＡＣＦ 、∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＥ
さらに、 ９０°−∠ＡＣＦ＝９０°−∠ＡＢＥ より、 ∠ＡＣＦ＝∠ＡＢＥ
よって、 ∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＥ となり、線分ＡＤは∠ＥＤＦの２等分線である。
同様にして、線分ＢＥは∠ＤＥＦの２等分線、線分ＣＦは∠ＤＦＥの２等分線である。
以上から、Ｈは△ＤＥＦの内心となる。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年５月３０日付け）
逆に、△ABCの内心を I とするとき、頂点と内心を通る直線が外接円との交点をそれぞれ
D、E、Fとすると、△DEFの垂心は、I と一致するので、△ABC（I）＝△DEF（H）
また、△ABCの外接円をOとするとき、円周上のどの三点D、E、Fをとっても
△ABC（O）＝△DEF（O）
証明は、簡単ですが、…。
（コメント） △ABC（I）＝△DEF（H）を証明してみた。
上図において、 ２（●＋○＋×）＝１８０° から、 ●＋○＋×＝９０°
よって、ＤＩ⊥ＥＦ 、ＥＩ⊥ＦＤ 、ＦＩ⊥ＤＥ となるので、Ｉ は、△ＤＥＦの垂心となる。
以下、工事中！
