F(x)=∑[n=1,∞]fn*x^n
で定義される関数F、及び、変形フィボナッチ数列 {gn};1,4,5,9,14,23,37,･･･ をx^nの係数とする
G(x)=∑[n=1,∞]gn*x^n
で定義された関数Gであるとする。この時、
F(√2-1)=1 、F(1/2)=2 、F((√13-2)/3)=3 、･････
G((√5-1)/4)=1 、G(2/5)=2 、G(√22-2)/6)=3 、･････ 、G(1/2)=5 、・・・・・
などが成立するようになる。そこで、
(1) F(x)=4,5,6,7,8,9 がそれぞれ成り立つ各xに対応する値を求め、また、x が有理数でF(x)
が10000以下の正の整数値を取り得るものは何個あるでしょうか？
(2) G(x)=4,5,6,7,8,9 がそれぞれ成り立つ各xに対応する値を求め、また、x が有理数でG(x)
が1000000以下の正の整数値を取り得るものは何個あるでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和７年４月１６日付け）
問題の解釈とプログラムが正しければ、ですが、
F(x)=x/(1-x-x^2) （|x|＜1） なので、F^(-1)(y)=(-y-1+√(5y^2+2y+1))/(2y) （∵|x|＜1）
これに、4～9 を代入して、
F^(-1)(4)=(-5+√89)/8 、F^(-1)(5)=(-3+√34)/5 、F^(-1)(6)=(-7+√193)/12
F^(-1)(7)=(-4+√65)/7 、F^(-1)(8)=(-9+√337)/16 、F^(-1)(9)=(-5+√106)/9
「x が有理数で、F(x)が10000以下の正の整数値を取る」
⇔「y が10000以下の正の整数で、5y^2+2y+1 が平方数」
「y が10000以下の正の整数で、5y^2+2y+1 が平方数」を満たす y は、
5個(2,15,104,714,4895)なので、
「x が有理数で、F(x)が10000以下の正の整数値を取る」を満たす x は、
5個(1/2,3/5,8/13,21/34,55/89)
G(x)=(1+3x)x/(1-x-x^2) （|x|＜1） なので、
G^(-1)(y)={-y-1+√(5y^2+14y+1)}/(2(y+3)) （y≧2）
これに、4～9 を代入して、
G^(-1)(4)=(-5+√137)/14 、G^(-1)(5)=(-3+7)/8=1/2 、G^(-1)(6)=(-7+√265)/18
G^(-1)(7)=(-4+√86)/10 、G^(-1)(8)=(-9+√433)/22 、G^(-1)(9)=(-5+√133)/12
「x が有理数で、G(x)が1000000以下の正の整数値を取る」
⇔「y が1000000以下の正の整数で、5y^2+14y+1 が平方数」
「y が1000000以下の正の整数で、5y^2+14y+1 が平方数」を満たす y は、
14個(2,5,21,42,152,296,1050,2037,7205,13970,49392,95760,338546,656357)なので、
「x が有理数で、G(x)が1000000以下の正の整数値を取る」を満たす x は、
14個(2/5,1/2,7/12,3/5,19/31,8/13,50/81,21/34,131/212,55/89,343/555,144/233,898/1453,377/610)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年４月１６日付け）
F(x)<10000での5個、G(x)<1000000での14個のxの有理数もすべて完璧に正解です。
上の5個がフィボナッチ数の有理数で構成されていくのに比べ、下の14個は
偶数番目；1/2,3/5,8/13,21/34,55/89,144/233,377/610 がフィボナッチ数での有理数、そして、
奇数番目；2/5,7/12,19/31,50/81,131/212,343/555,898/1453 も疑似フィボナッチ数での有理数
で構成されるのが面白いです。
母関数から一気に逆関数を考えることが自分の方法と異なり、この手が最も効率よく進め
られることを教えられました。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年４月１７日付け）
F(x)＜10000の5個の数列 2,15,104,714,…は、「A081018」 にありますね。
よって、問題が F(x)＜1000000000000000000000000000000000000000000000 であっても
容易に答えられます（この場合54個）。
G(x)の方の数列 2,5,21,42,152,… はOEISにありませんが、漸化式を立てれば同様に巨大数
まででも答えられると思います。因みに、
前者の漸化式は、a[1]=2, a[2]=15, a[n+2]=7a[n+1]-a[n]+1
後者の漸化式は、a[1]=2, a[2]=5, a[3]=21, a[4]=42, a[n+4]=7a[n+2]-a[n]+7
以下、工事中！
