となる、即ち、√(a² · c²) = b² または、同じことですが、a² · c² = b⁴ を満たす整数解は、たとえ
ば、a、b、c が等比数列の場合などから容易に見出すことができ、無数に存在します。
これを踏まえ、次の問題について検討してください。
整数 a、b、c (0＜a＜b＜c) において、a の平方から 1 を引いた数と c の平方から 1 を引
いた数の相乗平均が、b の平方から 1 を引いた数となる、即ち、√((a² – 1)(c² – 1)) = b² – 1
または、同じことですが、(a² – 1)(c² – 1) = (b² – 1)² を満たす整数解は、無数に存在するので
しょうか？
※ひとつの例として、(577² – 1)(3363² – 1) = (1393² – 1)² を挙げておきます。
（GAI さん風の出題を志向しております。）
らすかるさんからのコメントです。（令和７年３月１７日付け）
a[1]=3、a[2]=7、a[n+2]=2a[n+1]+a[n] という漸化式により、
3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, … (「A001333」)
という数列が生成されますが、このとき、
(a[2n-1]^2-1)(a[2n+1]^2-1)=(a[2n]^2-1)^2
が成り立ちます。
# これは、(a[2n])^2=a[2n-1]a[2n+1]-2 と a[n+2]=2a[n+1]+a[n] から示せます。
従って、解は無数にあります。
なお、上記に含まれない (4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2 や (2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2
など存在しますので、上記は全解ではありません。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年３月１７日付け）
らすかるさん 瞬殺、お見事です。
次の２数は興味深いですが難物そうですね。
(4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2
(2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2
以下、工事中！
