題は見つかりません。もし既に誰かが作られた問題で、出典をご存知の方がいらっしゃいま
したらご教示下されば幸いです。また、本問題の解法についてのコメントもして下さると嬉しい
です。
△ＡＢＣの内部に点Ｐをとる。ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ とし、ＰＡ＝ｘ、ＰＢ＝ｙ、ＰＣ＝ｚ とお
く。このとき、次の不等式を証明せよ。
ｘ2/ａ2＋ｙ2/ｂ2＋ｚ2/ｃ2≧１
（コメント） 半径１の円に内接する正三角形の１辺の長さは、
なので、確かに不等式は成り立ちますね！一般的には、どう証明するのだろう？
DD++ さんからのコメントです。（令和７年３月１３日付け）
私が記憶する限りでは、見たことない問題ですね。
A、B、Cを固定したとき、Aに質量1/a^2を、Bに質量1/b^2を、Cに質量1/c^2を、おいたと
きの重心にPを取るのが左辺の最小条件であることまでは頑張りました。
その最小値が1以上になるかどうかまでは暗算では厳しくギブアップ。
Tabasco さんからのコメントです。（令和７年３月１５日付け）
コメントありがとうございます！いわゆる幾何不等式っぽい解き方ではない解法がないか
にも興味があって、皆さんの意見は大変貴重だと思います。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年３月１５日付け）
補題1 S = (x/a) + (y/b) + (z/c) は、アフィン変換しても保存されるので、正三角形の場合
で計算して、S ≧
を得る。この補題は…はたして真なのでしょうか？
（追伸） どう考えてもうまくないです……アウトではないかと。
DD++ さんからのコメントです。（令和７年３月１７日付け）
やっとできました。
A、B、Cを固定し、Aに質量1/a^2を、Bに質量1/b^2を、Cに質量1/c^2をおいたときの重心
を O とします。O を基準とした A、B、C、P の位置ベクトルをそれぞれ x、y、z、p とします。
（x, y, z を問題文とかなり違う意味で用いているように見えますが、後でほぼ一致します）
O の取り方から、(1/a^2)x + (1/b^2)y + (1/c^2)z = 0 です。
このとき問題の左辺は、(1/a^2)|p-x|^2 + (1/b^2)|p-y|^2 + (1/c^2)|p-z|^2 と書くことになり
ます。これが最小となる p を考えます。
(∂/∂p) { (1/a^2)|p-x|^2 + (1/b^2)|p-y|^2 + (1/c^2)|p-z|^2 }
= (2/a^2)(p-x) + (2/b^2)(p-y) + (2/c^2)(p-z)
= (2/a^2+2/b^2+2/c^2)p
なので、p が 0 であるときが最小です。
（厳密には最大か最小か鞍点かなどの議論が必要ですが、明らかなので省略）
このとき、P と O は一致するので、AP = |x|, BP = |y|, CP = |z| となり、元々の x, y, z の意
味とほぼ一致します。
以上より、題意を示すには、(1/a^2)x + (1/b^2)y + (1/c^2)z = 0 という条件下で
(1/a^2)|x|^2 + (1/b^2)|y|^2 + (1/c^2)|z|^2 ≧ 1
であることを示せばいいことになります。
ここで、|x-y| = c より、|x|^2 - 2x・y + |y|^2 = c^2 なので、2x・y = |x|^2 + |y|^2 - c^2
同様に、2y・z = |y|^2 + |z|^2 - a^2 、2z・x = |z|^2 + |x|^2 - b^2
(1/a^2)x + (1/b^2)y + (1/c^2)z = 0 の両辺の絶対値を2乗して、
(1/a^4)|x|^2 + (1/b^4)|y|^2 + (1/c^4)|z|^2 + (1/(ab)^2) (|x|^2 + |y|^2 - c^2)
+ (1/(bc)^2) (|y|^2 + |z|^2 - a^2) + (1/(ca)^2) (|z|^2 + |x|^2 - b^2) = 0
(1/a^2+1/b^2+1/c^2) ((1/a^2)|x|^2 + (1/b^2)|y|^2 + (1/c^2)|z|^2) = (a^4+b^4+c^4)/(abc)^2
ここで、相加相乗平均の関係から、
a^4+b^4+c^4 = (a^4+b^4)/2 + (b^4+c^4)/2 + (c^4+あ^4)/2 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2
なので、
(1/a^2+1/b^2+1/c^2) ((1/a^2)|x|^2 + (1/b^2)|y|^2 + (1/c^2)|z|^2) ≧ (1/a^2+1/b^2+1/c^2)
すなわち、 (1/a^2)|x|^2 + (1/b^2)|y|^2 + (1/c^2)|z|^2 ≧ 1
Tabasco さんからのコメントです。（令和７年３月１９日付け）
解いてくださりありがとうございました。このような解法は自分では思いつけないので、大変
勉強になります。後ほど精読させていただきます。
以下、工事中！
