５回目の大学入学共通テストが令和７年１月１８日・１９日の両日行われた。受験者数も
５０万人を割り、４９万５千人であった。今回は、今の学習指導要領に対応した初のテストで
教科「情報」が初めて実施された。７教科２１科目に再編され、新聞掲載の問題量も半端な
い分量で、問題を解く前に読み疲れてしまう感じだ。

　数学�UＢも数学�UＢＣとなり、試験時間も１０分長く７０分となった。

　１月２２日に平均点の中間集計発表があった。
数学�TＡの平均点は、５６．６６点、数学�UＢＣの平均点は、５６．６９点とのことである。

　２月６日に、確定平均点の発表があった。
数学�TＡの平均点は、５３．５１点（昨年度５１．３８点）、数学�UＢＣの平均点は、５１．５６点
とのことである。

　今年も面白そうな問題をいくつか取り上げ、挑戦したいと思う。問題文は、若干整理しました！

【 数学Ｉ・Ａ 】

第１問（２）

　半径２の円Ｏと半径４の円Ｏ’が下図のように２点Ｐ、Ｑで交わっている。また、直線Ｌが円
Ｏ、Ｏ’のそれぞれと点Ａ、Ｂで接している。ＡＢ＝２ とする。

　　

　∠ＰＡＢ＝α、∠ＰＢＡ＝β　とおくとき、次の問いに答えよ。

（１）　ＰＡ、ＰＢをα、βを用いて表せ。

（２）　ＰＢの長さは、ＰＡの長さの何倍か。

（３）　△ＰＡＢ、△ＱＡＢの外接円の半径をそれぞれ求めよ。

（４）　ＰＡ、ＱＡの長さをそれぞれ求めよ。

（解）（１）　ＯからＰＡに垂線ＯＨを引くと、∠ＡＯＨ＝α　なので、　ＰＡ＝２・２ｓｉｎα＝４ｓｉｎα

同様に、ＰＢ＝２・４ｓｉｎβ＝８ｓｉｎβ

（２）　△ＰＡＢにおいて、正弦定理より、　ＰＡ/ｓｉｎβ＝ＰＢ/ｓｉｎα　なので、

　４ｓｉｎα・ｓｉｎα＝８ｓｉｎβ・ｓｉｎβ　より、　ｓｉｎα＝ｓｉｎβ　なので、

ＰＢ＝（ｓｉｎα/ｓｉｎβ）ＰＡ＝ＰＡ

（３）　△ＰＡＢの外接円の半径をＲとおくと、正弦定理より、

　２Ｒ＝ＰＡ/ｓｉｎβ＝４（ｓｉｎα/ｓｉｎβ）＝４　なので、　Ｒ＝２

　直線ＰＱと直線ＡＢの交点をＫとおくと、∠ＡＱＫ＝α、∠ＢＱＫ＝β　なので、

　∠ＡＱＢ＝α＋β　である。　また、∠ＡＰＢ＝π−（α＋β）

よって、　ＡＢ/ｓｉｎ∠ＡＰＢ＝ＡＢ/ｓｉｎ∠ＡＱＢ　となり、正弦定理より、

△ＱＡＢの外接円の半径も、Ｒ＝２　に等しい。

（４）　正弦定理より、ＡＢ/ｓｉｎ∠ＡＰＢ＝２Ｒ なので、 ｓｉｎ∠ＡＰＢ＝ＡＢ/（２Ｒ）＝/４

よって、　ｃｏｓ∠ＡＰＢ＝１/（２）　なので、余弦定理より、

２８＝ＰＡ²＋ＰＢ²−２ＰＡ・ＰＢｃｏｓ∠ＡＰＢ＝ＰＡ²＋２ＰＡ²−２ＰＡ²・１/（２）＝２ＰＡ²

なので、　ＰＡ²＝１４　より、　ＰＡ＝

また、ｓｉｎ∠ＡＱＢ＝/４　、ｃｏｓ∠ＡＱＢ＝−１/（２）　で、ＱＢ＝ＱＡ　より、

余弦定理から、

２８＝ＱＡ²＋ＱＢ²−２ＱＡ・ＱＢｃｏｓ∠ＡＱＢ＝ＱＡ²＋２ＱＡ²＋２ＱＡ²・１/（２）＝４ＱＡ²

なので、　ＱＡ²＝７　より、　ＱＡ＝　　（終）


第２問（１）　　ｘｙ平面上に、３つの放物線Ｃ₁、Ｃ₂、Ｃ₃ があり、次の条件を満たしている。

（条件）
　・Ｃ₁は、ｘ 軸と２点（−５/２，０）、（１/２，０）で交わる。
　・Ｃ₃は、ｘ 軸と２点（５/２，０）、（−１/２，０）で交わる。
　・Ｃ₁、Ｃ₃ は、点（０，１）を通る。
　・Ｃ₂は、ｘ 軸と２点Ｐ（−３/２，０）、Ｐ’（３/２，０）で交わり、しかも、Ｃ₁、Ｃ₃ の頂点を通る。

　　

　このとき、次の問いに答えよ。

（１）　３つの放物線Ｃ₁、Ｃ₂、Ｃ₃ の方程式を求め、それぞれの頂点の座標を求めよ。
（２）　放物線Ｃ₂’がｘ軸上の点Ｑを通り、Ｃ₁、Ｃ₃ の頂点を通るものとする。
　ｙ 軸上の点（０，５）が頂点であるとき、点Ｑの座標を求めよ。

（解）（１）　放物線Ｃ₁の方程式は、　ｙ＝ａ（ｘ＋５/２）（ｘ−１/２）　とおける。これが、点（０，１）

を通るので、　−（５/４）ａ＝１　より、　ａ＝−４/５

　よって、　ｙ＝−（４/５）（ｘ＋５/２）（ｘ−１/２）＝−（４/５）（ｘ＋１）²＋９/５　より、

　Ｃ₁の頂点の座標は、（−１，９/５）　となる。

　放物線Ｃ₃の方程式は、　ｙ＝ａ（ｘ−５/２）（ｘ＋１/２）　とおける。これが、点（０，１）

を通るので、　−（５/４）ａ＝１　より、　ａ＝−４/５

　よって、　ｙ＝−（４/５）（ｘ−５/２）（ｘ＋１/２）＝−（４/５）（ｘ−１）²＋９/５　より、

　Ｃ₃の頂点の座標は、（１，９/５）　となる。

　放物線Ｃ₂の方程式は、　ｙ＝ｂ（ｘ−３/２）（ｘ＋３/２）　とおける。これが、点（１，９/５）

を通るので、　−（５/４）ｂ＝９/５　より、　ｂ＝−３６/２５

　よって、　ｙ＝−（３６/２５）（ｘ−３/２）（ｘ＋３/２）＝−（３６/２５）ｘ²＋８１/２５　より、

　Ｃ₂の頂点の座標は、（０，８１/２５）　となる。

（２）　放物線Ｃ₂’を ｙ 軸方向に−９/５だけ平行移動すると、ｘ 軸と±１で交わり、ｙ 切片が

　５−９/５＝１６/５　となるので、放物線 ｙ＝ｋ（ｘ＋１）（ｘ−１）　において、　−ｋ＝１６/５

すなわち、　ｋ＝−１６/５　となる。よって、放物線Ｃ₂’の方程式は、

　ｙ＝−（１６/５）（ｘ＋１）（ｘ−１）＋９/５＝−（１６/５）ｘ²＋５　と書ける。

このとき、　−（１６/５）ｘ²＋５＝０　より、　ｘ＝±５/４

よって、　Ｑ（５/４，０）　となる。　　（終）


第３問　　ＡＢ＝９ の四面体ＰＡＢＣにおいて、辺ＰＡ、ＰＢ、ＰＣと交わる平面で切断し、その
　　切り口の三角形をＤＥＦとする。△ＤＥＦは１辺の長さが３の正三角形である。

　　

　上図のように、ＤＡ＝７、ＥＢ＝１１、ＦＣ＝１７で、６点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆは、ある一つの球面
上にあるものとする。

　次の問いに答えよ。

（１）　ＰＤ、ＰＥ の長さを求めよ。
（２）　ＰＦ、ＢＣ、ＣＡ の長さを求めよ。
（３）　次の命題の真偽を判定せよ。
（イ）　平面ＡＢＥＤ⊥平面ＡＢＣ
（ロ）　ＡＢ⊥平面ＡＣＦＤ
（ハ）　ＡＢ⊥ＤＦ

（解）（１）　四角形ＡＢＥＤは、円に内接する四角形なので、∠ＰＤＥ＝∠ＰＢＡ

よって、△ＰＤＥ∽△ＰＢＡ　より、　ＰＤ ： ＰＢ＝ＰＥ ： ＰＡ＝３ ： ９＝１ ： ３

ここで、ＰＢ＝ＰＥ＋１１　、ＰＡ＝ＰＤ＋７　なので、　３ＰＤ＝ＰＥ＋１１、３ＰＥ＝ＰＤ＋７

よって、　３（３ＰＤ−１１）＝ＰＤ＋７　より、　８ＰＤ＝４０　すなわち、　ＰＤ＝５　となる。

このとき、　３ＰＥ＝５＋７＝１２　より、　ＰＥ＝４

（２）　４点Ｂ、Ｃ、Ｆ、Ｅ は同一円周上にあるので、方べきの定理より、

　ＰＥ・ＰＢ＝ＰＦ・ＰＣ　すなわち、　４・１５＝ＰＦ・（ＰＦ＋１７）　より、　ＰＦ²＋１７ＰＦ−６０＝０

（ＰＦ＋２０）（ＰＦ−３）＝０　より、　ＰＦ＝３

（１）と同様にして、　ＰＥ ： ＰＣ＝ＦＥ ： ＢＣ　すなわち、４ ： ２０＝３ ： ＢＣ　より、ＢＣ＝１５

　ＰＤ ： ＰＣ＝ＤＦ ： ＣＡ　すなわち、５ ： ２０＝３ ： ＣＡ　より、ＣＡ＝１２

（３）（イ）　∠ＰＥＤ＝∠ＰＡＢ＝９０°、∠ＢＡＣ＝９０°　より、ＡＢ⊥平面ＡＣＦＤ

　このとき、１２²＋１２²−２０²＝−１１２＜０　より、∠ＰＡＣは鈍角なので、

　命題「平面ＡＢＥＤ⊥平面ＡＢＣ」は偽となる。

（ロ）　（イ）より、ＡＢ⊥平面ＡＣＦＤ　となるので、命題「ＡＢ⊥平面ＡＣＦＤ」は真である。

（ハ）　ＤＦは、平面ＡＣＦＤ上にあるので、ＡＢ⊥ＤＦ　となるので、

　命題「ＡＢ⊥ＤＦ」は真である。　　（終）


【 数学�U・Ｂ・Ｃ 】

第１問　０≦θ＜π のとき、次の方程式を解け。

（１）　ｓｉｎ（θ＋π/６）＝ｓｉｎ２θ

（２）　ｃｏｓ（θ＋π/６）＝ｃｏｓ２θ

（解）（１）　ｓｉｎ２θ−ｓｉｎ（θ＋π/６）＝２ｃｏｓ（（３/２）θ＋π/１２）ｓｉｎ（（１/２）θ−π/１２）

０≦θ＜π より、

　π/１２≦（３/２）θ＋π/１２＜（１９/１２）π、−π/１２≦（１/２）θ−π/１２＜５π/１２

このとき、　（３/２）θ＋π/１２＝π/２、３π/２　、（１/２）θ−π/１２＝０　より、

　θ＝（５/１８）π、（１７/１８）π、π/６

（２）　ｃｏｓ２θ−ｃｏｓ（θ＋π/６）＝−２ｓｉｎ（（３/２）θ＋π/１２）ｓｉｎ（（１/２）θ−π/１２）

０≦θ＜π より、

　π/１２≦（３/２）θ＋π/１２＜（１９/１２）π、−π/１２≦（１/２）θ−π/１２＜５π/１２

このとき、　（３/２）θ＋π/１２＝π、（１/２）θ−π/１２＝０　より、

　θ＝（１１/１８）π、π/６　　（終）


（コメント）　大学入学共通テストでは、上記のようには解かせていない。検算で、上記のように
　　　　解いた受験生の方も少なからずいたのではないだろうか？

　（１）については、次のように誘導されていた。

　α＝θ＋π/６　、β＝２θ　とおいて、方程式　ｓｉｎα＝ｓｉｎβ　を考える。

　α＝β　すなわち、　θ＝π/６　のとき、　ｓｉｎα＝ｓｉｎβ　が成り立つから、解である。

　α≠β　のとき、方程式　ｓｉｎα＝ｓｉｎβ　を満たすためには、単位円周上の２点のｙ座標
が等しければよい。

０≦θ≦π/２　のとき、０≦β≦π　なので、ｓｉｎα＝ｓｉｎβ　となるのは、α＋β＝π　のと

きであるので、　θ＋π/６＋２θ＝π　より、　θ＝（５/１８）π

π/２＜θ＜π　のとき、π＜β＜２π　なので、ｓｉｎα＝ｓｉｎβ　となるのは、

　α−π＋β＝２π　のときであるので、　θ＋π/６−π＋２θ＝２π　より、

　θ＝（１７/１８）π

以上から、ｓｉｎ（θ＋π/６）＝ｓｉｎ２θ　の解は、θ＝（５/１８）π、（１７/１８）π、π/６


第３問　　ｋ を０でない実数とする。関数 Ｆ（ｘ）とＧ（ｘ）は、どちらも導関数が２次関数 ｆ（ｘ）
　　であるとし、Ｆ（ｘ）はｘ＝０で極小値０をとり、Ｇ（ｘ）はｘ＝ｋで極大値０をとるとする。

（１）（イ）　Ｆ（ｘ）＝２ｘ³＋３ｘ² のとき、ｆ（ｘ）を求めよ。
　（ロ）　Ｆ（ｘ）が極大となる ｘ の値を求めよ。
　（ハ）　積分定数をＣとして、Ｇ（ｘ）を求めよ。
　（ニ）　Ｇ（ｘ）が極小となる ｘ の値を求めよ。
　（ホ）　積分定数Ｃの値を求めよ。

（２）　ｋ＞０ の場合を考える。
　（イ）　ｆ（０）の値を求め、ｘ＝０の前後のｆ（ｘ）の符号の変化を調べよ。
　（ロ）　ｆ（ｋ）の値を求め、ｘ＝ｋの前後のｆ（ｘ）の符号の変化を調べよ。
　（ハ）　ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフの概形を求めよ。
　（ニ）　定積分を用いて、Ｆ（ｘ）をｆ（ｘ）で表せ。
　（ホ）　Ｆ（ｘ）の極大値を、定積分を用いて表せ。
　　　（このことから、Ｆ（ｘ）の極大値は、関数 ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフと ｘ 軸で囲まれた図形の面積
　　　に等しい。）
　（ヘ）　Ｆ（ｘ）の極大値とＧ（ｘ）が極小値の関係を調べよ。

（解）（１）（イ）　ｆ（ｘ）＝６ｘ²＋６ｘ

（ロ）　ｆ（ｘ）＝６ｘ²＋６ｘ＝０　を解くと、ｘ＝−１、０　で、ｘ＝−１の前後で、ｆ（ｘ）の符号が正

から負に変わるので、Ｆ（ｘ）は、ｘ＝−１で極大となる。

（ハ）　Ｇ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）＝６ｘ²＋６ｘ　より、　Ｇ（ｘ）＝２ｘ³＋３ｘ²＋Ｃ　（Ｃは積分定数）

　ｘ＝０の前後で、ｆ（ｘ）の符号が負から正に変わるので、Ｇ（ｘ）は、ｘ＝０で極小となる。

（ニ）　ｘ＝ｋ＝−１　のとき、極大値０をとるので、　Ｇ（−１）＝１＋Ｃ＝０　より、　Ｃ＝−１

（２）（イ）　Ｆ（ｘ）はｘ＝０で極小となるから、ｆ（０）＝０　で、ｘ＝０の前後で、ｆ（ｘ）の符号は負か

　ら正に変わる。

（ロ）　Ｇ（ｘ）はｘ＝ｋで極大となるから、ｆ（ｋ）＝０　で、ｘ＝０の前後で、ｆ（ｘ）の符号は正から負

　に変わる。

（ハ）　Ｆ（ｘ）とＧ（ｘ）は定数の差しかないので、ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフの概形は、ｘ＝０で極小で、

　ｘ＝ｋ＞０ で極大となる。（グラフは略）

（二）　Ｆ（０）＝０　に注意して、　Ｆ（ｘ）＝∫₀^x ｆ（ｔ）ｄｔ　と書ける。

（ホ）　Ｆ（ｘ）は、ｘ＝ｋ で極大となるので、極大値は、　Ｆ（ｋ）＝∫₀^k ｆ（ｔ）ｄｔ　と書ける。

　このことから、極大値 Ｆ（ｋ） は、関数 ｙ＝ｆ（ｘ） と ｘ 軸で囲まれた図形の面積と等しい。

（ヘ）　同様に、Ｇ（ｋ）＝０　に注意して、　Ｇ（ｘ）＝∫_k^x ｆ（ｔ）ｄｔ　と書ける。

　Ｇ（ｘ）は、ｘ＝０ で極小となるので、極小値は、Ｇ（０）＝∫_k⁰ ｆ（ｔ）ｄｔ　と書ける。

　このとき、Ｇ（０）＝−∫₀^k ｆ（ｔ）ｄｔ＝−Ｆ（ｋ）　から、　Ｆ（ｋ）＝−Ｇ（０）

　よって、Ｆ（ｘ）の極大値は、Ｇ（ｘ）の極小値の−１倍と等しいことが分かる。　　（終）


（コメント）　誘導が丁寧すぎて、受験生に考える余地を与えない、ただ問題文が冗長なだけ
　　　　の気がする。出題者は、受験生に何を求めているのか不明な問題である。

第４問　　座標平面上で、ある図形の内部にある ｘ 座標と ｙ 座標がともに整数である格子
　　点を数えたい。次の問いに答よ。

（１）　直線 ｙ＝３ｘ と ｘ 軸、直線 ｘ＝２１ で囲まれる図形Ｔの内部にある格子点の個数を求
　　めよ。

（２）　ｎ は自然数とする。関数 ｙ＝２^x のグラフと ｘ 軸、 ｙ 軸、直線 ｘ＝ｎ＋１ で囲まれる図
　　形Ｕの内部にある格子点の個数を求めよ。

（３）　ａ、ｂ、ｃ は整数で、ａ＞０、ｂ²−４ａｃ＜０ を満たすとする。放物線 ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ と
　　ｘ 軸、ｙ 軸、直線 ｘ＝ｎ＋１ で囲まれる図形Ｖの内部にある格子点の個数が ｎ³ となる
　　ときの ａ、ｂ、ｃ の値を求めよ。

（解）（１）　直線 ｘ＝ｋ （１≦ｋ≦２０）上のＴの内部にある格子点の個数を ａ_ｋ とおくと、

　ａ_ｋ＝３ｋ−１　なので、求める個数は、

　Σ_k=1²⁰ （３ｋ−１）＝３・２０・２１/２−２０＝６１０（個）

（２）　直線 ｘ＝ｋ （１≦ｋ≦ｎ）上のＵの内部にある格子点の個数を ｂ_ｋ とおくと、

　ｂ_ｋ＝２^k−１　なので、求める個数は、

　Σ_k=1ⁿ （２^k−１）＝２（２ⁿ−１）−ｎ＝２ⁿ⁺¹−ｎ−２（個）

（３）　直線 ｘ＝ｋ （１≦ｋ≦ｎ）上のＶの内部にある格子点の個数を ｃ_ｋ とおくと、

　ｃ_ｋ＝ａｋ²＋ｂｋ＋ｃ−１　なので、求める個数は、

　Σ_k=1ⁿ （ａｋ²＋ｂｋ＋ｃ−１）＝（ｎ/６）（２ａｎ²＋３（ａ＋ｂ）ｎ＋ａ＋３ｂ＋６ｃ−６）（個）

これが、ｎ³ に等しいので、　ａ＝３、ａ＋ｂ＝０、ａ＋３ｂ＋６ｃ−６＝０　から、

　ａ＝３　、ｂ＝−３　、ｃ＝２　　（終）


第５問　　Ｑ地域ではレモンを栽培しているが、過去に収穫されたレモンの重さは、平均が
　　１１０ｇ、標準偏差２０ｇの正規分布に従うという。

　Ｑ地域で今年収穫されるレモンの重さＸは、過去と同じ分布Ｎ（１１０，２０²）に従う。

（１）　今年収穫されるレモンから無作為に１個抽出するとき、そのレモンの重さが１１０ｇ以上
　で１４０ｇ以下である確率を求めよ。

　Ｑ地域で今年収穫されるレモンが２０万個であるとし、その中の重さが１１０ｇ以上で１４０ｇ
以下の個数を確率変数Ｙで表すと、Ｙは二項分布に従う。

（２）　Ｙの平均（期待値）を求めよ。

　太郎さんと花子さんは、Ｑ地域で今年収穫されるレモンから何個かを抽出して、今年収穫
されるレモンの重さの平均（母平均）を推定しようとしている。

　母平均に対する信頼度９５％の信頼区間の幅を４ｇ以下にするために必要な標本の大きさ
を求めたい。

　Ｑ地域で今年収穫されるレモン全体を母集団とし、その重さの母平均をｍ（ｇ）、母標準偏
差をσ（ｇ）とする。この母集団から無作為に抽出したｎ個のレモンの重さを確率変数Ｗ₁、
Ｗ₂、・・・、Ｗ_ｎで表すと、標本の大きさｎが十分に大きいとき、標本平均

　

は近似的に正規分布に従う。

（３）　この正規分布の標準偏差を求めよ。

（４）　ｍに対する信頼度９５％の信頼区間をＡ≦ｍ≦Ｂと表すとき、信頼区間の幅Ｂ−Ａを求
　めよ。

（５）　σ＝２０として、信頼区間の幅を４ｇ以下にするために必要な標本の大きさｎの最小値
　を求めよ。

　次に、太郎さんと花子さんは、Ｑ地域で今年収穫されるレモンの重さの母平均ｍ（ｇ）が過去
の平均１１０（ｇ）より軽いといえるかを、有意水準５％で仮説検定を行うことにした。

　ただし標本の大きさは４００、母標準偏差は２０（ｇ）とする。

　ここで、統計的に検証したい仮説を「対立仮説」、対立仮説に反する仮定として設けた仮説
を「帰無仮説」とする。

（６）　対立仮説、帰無仮説はどうなるか答えよ。

　帰無仮説が正しいと仮定する。

（７）　標本の大きさ」４００は十分に大きいので、標本平均は近似的に正規分布に従う。
　標準偏差を求めよ。

　無作為抽出した４００個のレモンの重さの平均が、１０８．２（ｇ）となった。

（８）　確率Ｐ（≦１０８．２）を求めよ。

（９）　（８）の結果を用いて、過去の平均１１０（ｇ）より軽いといえるかを、有意水準５％で仮
　説検定を行え。

（解）（１）　Ｐ（１１０≦Ｘ≦１４０）＝Ｐ（０≦（Ｘ−１１０）/２０≦１．５）＝０．４３３２

（２）　Ｙの平均（期待値）は、２０００００×０．４３３２＝８６６４０（個）

（３）　求める標準偏差は、　σ/√ｎ　なので、標本平均は正規分布Ｎ（ｍ，σ²/ｎ）に従う。

（４）　ｍに対する信頼度９５％の信頼区間は、−１．９６σ/√ｎ≦ｍ≦＋１．９６σ/√ｎ
　より信頼区間の幅Ｂ−Ａ＝３．９２σ/√ｎ

（５）　σ＝２０として、７８．４/√ｎ≦４　より、　ｎ≧１９．６²＝３８４．１６　なので、標本の大き
　さｎの最小値は、　３８５（個）

（６）　対立仮説は、ｍ＜１１０　で、帰無仮説は、ｍ＝１１０　となる。

（７）　標本平均の標準偏差は、σ/√ｎ＝２０/√４００＝１　なので、近似的に正規分布
　Ｎ（１１０，１）に従う。

（８）　Ｐ（（−１１０）/１≦−１．８）
　＝０．５−Ｐ（０≦（−１１０）/１≦１．８）＝０．５−０．４６４１＝０．０３５９

（９）　（８）の値をパーセント表示した値は有意水準５％より小さい。すなわち、非常に起こり
　にくいことが起こったので、仮説は間違いで棄てられる。

　したがって、有意水準５％で今年収穫されるレモンの重さの母平均は１１０ｇより軽いと判断
出来る。　　（終）


　DD++ さんからのコメントです。（令和７年１月２２日付け）

　大学入学共通テストの悪問疑惑についてです。今年の数学IIBCのある問題が、ある意味で
かなりの悪問なのではないかと思ったのですが、皆さんはどう思いますかね？

　大問５の「スセソタ」のところです。

　正しい解答はもちろんこうですね。

　P(≦108．2)＝P(Z≦−1．8)＝0．5−0．4641＝0．0359

　ところが、これを統計がよくわからない人が、

「例年より1．8g 軽いってことは、σ＝20 の 0．09 倍おかしいから、よくわからないけど、表の
0．09 のとこ答えとこ」

ってやると、何と偶然にも 0．0359 と正解を答えることができてしまうという……。

　なぜ、よりによってそんな現象が起こる数値設定にしてしまったんでしょうね。受験生が当
てずっぽうで書きそうな数値の確認をロクにしていないのでしょうか？

　ちなみに、より厳密な数値を求めると、

正しい考えでは、0．0359303　、誤った考えでは、0．0358564

なので、本当にただの偶然で小数点以下4桁の概数がたまたま一致するだけです。


（コメント）　自然に解いていったら結果が出てしまうので、DD++ さんのような解法は思いつき
　　　　ませんでした。マークシートなので、どんな思考をしても結果オーライというマークシート
　　　　方式の限界を物語っていますね！第４問〜第７問から３問選択なんですが、受験生の
　　　　うち何人が第５問を選択したでしょうか？


　DD++ さんからのコメントです。（令和７年１月２７日付け）

　７番を避ける受験生が多いと思うので、５番は、かなり選んだ人が多いんじゃないかと思
います。

７番は、

・共通テストに変わってからの過去問がなく、対策のハードルが高い
・文系だとそもそも複素数平面の授業をしていない場合がある
・二次試験で「数Cの範囲はベクトルのみ」を指定する大学がちらほらあるので、複素数平面
の対策優先順位が下がりがち
・数学が苦手な子は、数Cを両方解くより数Bを両方解く方がまだ希望があると内容も見ずに
判断して、６、７どっちか投げ捨てそう

と、受験生に避けられる理由がてんこ盛りですからねえ。


第６問　　Ｏを原点とする座標空間において、Ｏを中心とする半径１の球面をＳとする。Ｓ上
　　に２点Ａ（１，０，０）、Ｂ（ａ，√（１−ａ²），０）をとる。ただし、−１＜ａ＜１とする。Ｓ上に点
　　Ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）をとると、ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝１ である。

（１）　△ＡＢＣが正三角形となるとき、ｘ の値、および、ｘ、ｙ の関係式を求めよ。

（２）　ａ＝３/５　のとき、ｘ、ｙ の値を求めよ。

（３）　ａ＝−３/５　のとき、△ＡＢＣが正三角形となるＳ上の点Ｃはないことを示せ。

（４）　△ＡＢＣが正三角形となるＳ上の点Ｃがあるための ａ に関する条件を求めよ。

（解）（１）　△ＯＡＣ≡△ＯＡＢ　より、∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＢ　なので、　ＯＡ・ＯＣ＝ＯＡ・ＯＢ

よって、　ｘ＝ａ　である。

同様に、△ＯＢＣ≡△ＯＡＢ　より、∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＢ　なので、　ＯＢ・ＯＣ＝ＯＡ・ＯＢ

よって、　ａｘ＋√（１−ａ²）・ｙ＝ａ

（２）　ｘ＝３/５ を (３/５）ｘ＋（４/５）ｙ＝３/５　即ち、　３ｘ＋４ｙ＝３　に代入して、

　９/５＋４ｙ＝３　より、　ｙ＝３/１０

　このとき、　（３/５）²＋（３/１０）²＋ｚ²＝１ より、　ｚ²＝１１/２０

　ｚ の値は２個あるので、△ＡＢＣが正三角形となるＳ上の点Ｃは２個あることが分かる。

　この式を満たす ｚ の値はないので、△ＡＢＣが正三角形となるＳ上の点Ｃは２個あることが分かる。

（３）　ｘ＝−３/５ を −(３/５）ｘ＋（４/５）ｙ＝−３/５　即ち、−３ｘ＋４ｙ＝−３　に代入して、

　９/５＋４ｙ＝−３　より、　ｙ＝−６/５

　このとき、　（−３/５）²＋（−６/５）²＋ｚ²＝１ より、　ｚ²＝−４/５＜０

　この式を満たす ｚ の値はないので、△ＡＢＣが正三角形となるＳ上の点Ｃはない。

（４）　ｘ＝ａ　、ａｘ＋√（１−ａ²）・ｙ＝ａ　から、　ｙ＝（ａ−ａ²）/√（１−ａ²）

　このとき、　ｚ²＝１−ａ²−（ａ−ａ²）²/（１−ａ²）＝（１−ａ）（２ａ＋１）/（ａ＋１）

　１＋ａ＞０　なので、ｚ が解を持つためには、　（１−ａ）（２ａ＋１）≧０

　−１＜ａ＜１に注意して、　−１/２≦ａ＜１

これが、△ＡＢＣが正三角形となるＳ上の点Ｃがあるための必要十分条件である。　　（終）


第７問　　複素数平面上に３点Ａ（α）、Ｂ（β）、Ｃ（γ）をとる。ただし、以下で、複素数の偏
　　角は、０以上２π未満とする。

（１）　α＝３＋２ｉ、β＝７、γ＝７＋１０ｉ のとき、（γ−α）/（β−α）の偏角を求めよ。

　ｗ＝（γ−α）/（β−α） とおく。直線ＡＢと直線ＡＣが垂直に交わるのは、ｗの偏角が
π/２ または ３π/２ のときである。このとき、ｗは純虚数となるので、ｗ＋＝０
逆に、ｗ≠０に注意すると、ｗ＋＝０　のとき、ｗは純虚数であるので、直線ＡＢと直線ＡＣ
が垂直に交わる。

以下で、ｚ は０、±２でない複素数とする。

（２）　α＝ｚ、β＝２、γ＝４/ｚ とする。直線ＡＢと直線ＡＣが垂直に交わるための条件を求め、
　複素数平面上に図示せよ。

（３）　α’＝−ｚ、β’＝−２、γ’＝−４/ｚ とする。複素数平面上の異なる３点Ａ’（α’）、
　Ｂ’（β’）、Ｃ’（γ’）について、直線Ａ’Ｂ’と直線Ａ’Ｃ’が垂直に交わるための条件を求め、
　複素数平面上に図示せよ。

（４）　α”＝−ｚ、β”＝２、γ”＝−４/ｚ とする。複素数平面上の異なる３点Ａ”（α”）、
　Ｂ”（β”）、Ｃ”（γ”）について、直線Ａ”Ｂ”と直線Ａ”Ｃ”が垂直に交わるための条件を求め、
　複素数平面上に図示せよ。

（解）（１）　γ−α＝４＋８ｉ　、β−α＝４−２ｉ　より、　（γ−α）/（β−α）＝２ｉ

　よって、偏角は、π/２　である。

（２）　（γ−α）/（β−α）＝（４/ｚ−ｚ）/（２−ｚ）＝１＋２/ｚ　が成り立つので、直線ＡＢと直線

ＡＣが垂直に交わるための必要十分条件は、　（１＋２/ｚ）＋（１＋２/）＝０　すなわち、

　２＋２/ｚ＋２/＝０　と変形できる。

　この両辺に ｚ を掛けて整理すると、直線ＡＢと直線ＡＣが垂直に交わるための必要十分

条件は、｜ｚ＋１｜＝１　となる。

　したがって、直線ＡＢと直線ＡＣが垂直に交わるような点 ｚ 全体を複素数平面上に図示する
と、
　−１を中心として半径１の円（ただし、０、−２は除く。）
となる。

（３）　（γ’−α’）/（β’−α’）＝（−４/ｚ＋ｚ）/（−２＋ｚ）＝１＋２/ｚ　が成り立つので、

　直線Ａ’Ｂ’と直線Ａ’Ｃ’が垂直に交わるための必要十分条件は、

　（１＋２/ｚ）＋（１＋２/）＝０　すなわち、２＋２/ｚ＋２/＝０　と変形できる。

　この両辺に ｚ を掛けて整理すると、直線Ａ’Ｂ’と直線Ａ’Ｃ’が垂直に交わるための必要

十分条件は、｜ｚ＋１｜＝１　となる。

　したがって、直線Ａ’Ｂ’と直線Ａ’Ｃ’が垂直に交わるような点 ｚ 全体を複素数平面上に図
示すると、

　−１を中心として半径１の円（ただし、０、−２は除く。）

となる。

（４）　（γ”−α”）/（β”−α”）＝（−４/ｚ＋ｚ）/（２＋ｚ）＝１−２/ｚ　が成り立つので、

　直線Ａ”Ｂ”と直線Ａ”Ｃ”が垂直に交わるための必要十分条件は、

　（１−２/ｚ）＋（１−２/）＝０　すなわち、２−２/ｚ−２/＝０　と変形できる。

　この両辺に ｚ を掛けて整理すると、直線Ａ”Ｂ”と直線Ａ”Ｃ”が垂直に交わるための必要

十分条件は、｜ｚ−１｜＝１　となる。

　したがって、直線Ａ”Ｂ”と直線Ａ”Ｃ”が垂直に交わるような点 ｚ 全体を複素数平面上に図
示すると、

　１を中心として半径１の円（ただし、０、２は除く。）

となる。　　（終）


（コメント）　複素数の最初の方をいろいろいじっただけの問題ですね！



　　以下、工事中！