ておりませんでした。
問題 単位円周上の任意のｎ個の点について、それらまでのｎ個の距離の積が２以上にな
るような点が、円周上、または、円の内部に存在することを示せ。
皆さまの、この問題に対するさまざまなアプローチを見てみたいです。さらに、本問に関連す
る数学的事実などご存知でしたら、教えてください。
ａｔ さんからのコメントです。（令和７年１月５日付け）
単位円周上のn点を、z_1、z_2、 … 、z_n とし、多項式 P(w)＝(w-z_1)*(w-z_2)*…*(w-z_n)
を考える。
|P(w)|≧２ かつ 1≧|w| なる w の存在が次のようにして示せる。
(z_1)*(z_2)*…*(z_n)＝(−１)^n となるように座標を設定できる。
k＝1、2、…、n に対して、w_k＝exp(i*2*π*k/n) とすると、
P(w_1)＋P(w_2)＋…＋P(w_n)＝2*n
であることがわかる。よって、|P(w_1)|＋|P(w_2)|＋…＋|P(w_n)|≧2*n
よって、|P(w_1)|、|P(w_2)|、…、|P(w_n)| のうち、少なくとも１つは２以上。
（コメント） ｎ＝１ のとき、単位円周上の点Ｐ1（１，０）に対して、Ｑ（−１，０）とおけば、
Ｐ1Ｑ≧２ である。
ｎ＝２ のとき、単位円周上の点Ｐ1（１，０）、Ｐ2（−１，０）に対して、Ｑ（０，１）とおけば、
Ｐ1Ｑ*Ｐ2Ｑ＝
×≧２ｎ＝３ のとき、単位円周上の点Ｐ1（１，０）、Ｐ2（−１/２，
/２）、Ｐ3（−１/２，−/２）に対して、Ｑ（−１，０）とおけば、
Ｐ1Ｑ*Ｐ2Ｑ*Ｐ3Ｑ＝２×１×１≧２
・・・・・・・・・・・・・・・・
確かに、条件を満たす点は存在しそう．．．。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年１月６日付け）
特殊な場合では、こうなっているようです。
単位円に内接する正 ｎ＋１ 角形の頂点のうち n 個をとります。それらまでの ｎ 個の距離の
積が ２ 以上になる点が、円周上ないしは円の内部に存在することを示せ。
↓↓↓
正 ｎ＋１ 角形の頂点のうち ｎ 個をとったときにあぶれた頂点を P とします。
P から あらかじめとられていた ｎ 個の頂点に引いた線分の長さの積 N は ｎ＋１ に等しい。
不思議……。
（コメント） ｎ＝３、４の場合について、「不思議」さを体験してみました。
ｎ＝３ のとき、
このとき、 Ｎ＝ＰＱ1・ＰＱ2・ＰＱ3＝
・２・＝４ｎ＝４ のとき、
このとき、 Ｎ＝ＰＱ1・ＰＱ2・ＰＱ3・ＰＱ4＝（２−２ｃｏｓ７２°）（２−２ｃｏｓ１４４°）
ここで、 ｃｏｓ１４４°＝−ｃｏｓ３６°＝−（
＋１）/４ 、ｃｏｓ７２°＝（−１）/４ なので、Ｎ＝ＰＱ1・ＰＱ2・ＰＱ3・ＰＱ4＝（５−
）/２・（５＋）/２＝５DD++ さんからのコメントです。（令和７年１月９日付け）
「または、円の内部」がわざわざついているのが気になっているんですが、この積が最大
値をとる点は、必ず円周上にあるわけでもないんですかね？
感覚的には、必ず円周上と言えそうな気がしていますが、さりとて証明もできず。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年１月２１日付け）
双対多角形を利用すべきと直感的に思ったのですが、今日まで鼠一匹捕れませんでした。
(円の内部にもあるとしたら……)
以下、工事中！
