た。
らすかるさんによれば、初等関数を使って良いのであれば、「suc(n)」の代替物を表現でき
るのだそうで．．．。
例えば、4 = suc(suc(suc(1) ) ) → 私にとっては未知の初等関数による表現です。
時節がら、「suc(2024)」をと思ったのですけれども。らすかるさん、ご教示を願えればと存じ
ます。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年１２月３０日付け）
「suc(n)」は、１増やす関数でしょうか。それならば、
suc(n) = exp(cot(atan(log(sqrt(exp(cot(atan(log(sec(atan(sqrt(n))))))))))))
でOKです（nは正整数）。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１２月３０日付け）
らすかるさん、ありがとうございます！それにしても物凄い絵面です……ビビりまくりです。
なっ……なるほど。「sec(arctan(sqrt( n ))))」を二乗するのに手間がかかっているのでしたか。
（コメント） exp(cot(atan(log(sqrt(exp(cot(atan(log(sec(atan(sqrt(2024))))))))))))＝2025 って
不思議な感覚ですね。
DD++ さんからのコメントです。（令和６年１２月３１日付け）
ここのサイトで、「63を64にする問題」という形で出題され、私も参加していた記憶があるの
ですが、記事を探しても見当たらない……。どこにあるんだろう？人力検索に立ちはだかる、
24年間の記事数という壁。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年１２月３１日付け）
数学感動秘話の「合成関数の合成」にあります。
DD++ さんからのコメントです。（令和６年１２月３１日付け）
あれ？「63から64を作る」の、違う問題だったかな……！
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年１月２１日付け）
初等関数のうち代数関数でないものを初等超越関数ということとします。
いくつかの１変数の初等超越関数から合成関数 f を構成して、次のような性質をもつように
することはできますか？
f(1) = 3
※ 【代数関数 sqrt(・) を使わないで任意の正整数を表すことができそうだ】ゲームです。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年１月２１日付け）
ガウス記号は使っていいですか？ → [exp(tan(sin(1)))]=3
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年１月２１日付け）
ガウス記号は無しの方向性でお願いいたします。ペコリ。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年１月２１日付け）
では、
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
で、どうでしょう。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年１月２１日付け）
らすかるさん、チョベリグ(死語)ですね。私が用意していたのは以下です。
①
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(1))))))))))))))))
②
cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(1))))))))))))))))
らすかるさんからのコメントです。（令和７年１月２２日付け）
最初に気づいたのは「sec(atan(x))」の方だったのですが、少しでも見慣れている関数の方
が良いかと思って、「sin(atan(x))」の方を採用しました。
前に書いた解は、最後に「cot(atan(○))」で逆数にしているわけですが、よく考えたら最後の
sinをcosecに変えるだけで逆数になりますので、
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
は、
cosec(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))=3
とした方が良かったですね。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年１月２２日付け）
らすかるさんの式は良い感じですねえ。ところで、古典の「４つの４」問題にかこつけますと、
0 = acos(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec
(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 )))))))))))))))))))))))))))))))
1 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan
(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))
2 =tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan
(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))
3 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))
4 = sec(atan(tan(asec( 4 ))))
【だめじゃん】
5 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec
(atan( 4 ))))))))))))))))))
6 以上はよきにはからえ……
というあたりで許してもらえますかね？
※任意の正の有理数も 1 つの 4 でとか可能なものなのでしょうか？試す気力はありません
けれども。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年１月２２日付け）
任意の有理数も作れますね。
例えば、3/5を作る場合、最初に2乗して、
2乗 → 9/25
逆数 → 25/9
1引く → 16/9
1引く → 7/9
逆数 → 9/7
1引く → 2/7
逆数 → 7/2
1引く → 5/2
1引く → 3/2
1引く → 1/2
逆数 → 2
のようになりますので、簡単のため1から始めるとして、
cos atan 1 → √(1/2)
sec atan √(1/2) → √(3/2)
sec atan √(3/2) → √(5/2)
cos atan √(5/2) → √(2/7)
cos atan √(2/7) → √(7/9)
sec atan √(7/9) → √(16/9)
cos atan √(16/9) → √(9/25) = 3/5
の順に作ればよく、一気に書くと、
cos atan (sec atan (cos atan (cos atan (sec atan (sec atan (cos atan 1)))))) = 3/5
のようになります。なお、負の有理数は、「log cot atan exp x = -x」を使えば作れますね。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年１月２３日付け）
らすかるさん、凄い！真似をしてみました。
22/7 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan
(cos(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan
(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan
(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年２月５日付け）
【任意の正の有理数は、有限項の正則連分数展開の形で表記できる】ということなのだと
今更ながらに気が付きました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年１月２６日付け）
sec(x)=1/cos(x) 、asec(x)=1/acos(x) として、PARI/GPのソフトで下記の計算をさせたら、
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos
(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan
(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan
(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
%63 = 3.1439957705696095373721028193842780037
+ 0.00093791769925741310431658346259798553071*I
と、22/7とはならなかったのですが、どうしてなんでしょうね？
らすかるさんからのコメントです。（令和７年１月２６日付け）
sec(x) は sec(x)=1/cos(x) でOKですが、asec(x) は asec(x)=1/acos(x) ではなく、
asec(x)=acos(1/x) です。
(そうなることの説明)
x=sec(y) (0≦y≦π,y≠π/2) とおくと、asec(x)=asec(sec(y))=y
x=sec(y)=1/cos(y) なので、cos(y)=1/x から、y=acos(1/x)
よって、 asec(x)=acos(1/x)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年１月２７日付け）
あ～なるほど！意味を考えずに形式に溺れていた。定義し直して計算させたら、ピタリ
22/7(=3.142757142757･･･)となれました。
以下、工事中！
