次の問題設定は、0 から 19 まではうまくいくのだが．．．。

（１）　n を 0 から 19 までの整数とします。整数の集合 A＝{a,b,c,d,e,f} の部分集合のうち、要
　　素数が３の部分集合は２０個あります。これらの部分集合を Ｘ_n とします。Ｘ_n の要素の
　　総和を S_n とします。S_n＝ n となるような A を求めてください。

（２）　n を 1 から 20 までの整数とします。整数の集合 A＝{a,b,c,d,e,f} の部分集合のうち、要
　　素数が３の部分集合は２０個あります。これらの部分集合を Ｘ_n とします。Ｘ_n の要素の
　　総和を S_n とします。S_n＝ n となるような A を求めてください。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・< === チョッキン

　皆様にご教示を頂戴いたしたく．．．、（２）に解がないことをスマートに証明できるものなの
でしょうか？


（コメント）　整数の集合 A＝{a,b,c,d,e,f} の部分集合のうち、要素数が３の部分集合は、２０個
　　　　あって、すなわち、

具体的には、{a,b,c} 、{a,b,d} 、{a,b,e} 、{a,b,f} 、{a,c,d} 、・・・、{d,e,f} 達である。特徴としては、

Ｘ_n の要素の総和 S_n は、（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ）*１０　に等しいことである。


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年１２月１８日付け）

　私の理解が正しければ、mod ３で証明できます。

　ｎが 1～20 のとき、ΣS_n＝Σn＝210　から、a＋b＋c＋d＋e＋f＝21
(a,b,c,d,e,f がそれぞれ10回ずつ登場するので、210÷10=21)

　以下、集合Aの要素と和は、mod ３で表します。

３つの和が0になるものが、n=3,6,9,12,15,18 の６通り
３つの和が1になるものが、n=1,4,7,10,13,16,19 の７通り
３つの和が2になるものが、n=2,5,8,11,14,17,20 の７通り

A={x,x,x,x,y,z} (x,y,zはそれぞれ0か1か2) の場合

　2x+y が６通り、2x+z が６通り、3x が４通り、x+y+z が４通り

このとき、0、1、2 が偶数個ずつにしかならないので不適

よって、mod ３が一致するものは、３個以下

Aの要素で、0 が３個のとき、総和が 0 (21≡0) なので、(0,0,0,1,1,1)か(0,0,0,2,2,2)の何れか。

しかし、どちらの場合も 0 になるものが、２通り((0,0,0)と(1,1,1)または(2,2,2))しかなく不適。

#何れの場合も 1 になるものと 2 になるものがそれぞれ９通りずつです。

Aの要素で 0 が２個のとき、総和が 0 なので、(0,0,1,1,2,2)

このとき 0 になるものが(0,1,2)の組合せ 2×2×2=８通りとなり不適。

# 1になるものは、(0,0,1)が２通り、(0,2,2)が２通り、(1,1,2)が２通りの計６通り
# 2になるものは、(0,0,2)が２通り、(0,1,1)が２通り、(1,2,2)が２通りの計６通り

Aの要素で 0 が１個のとき、総和が 0 になるものは、(0,1,1,1,1,2)か(0,1,2,2,2,2)しかなく、
同じものが4個以上になるので不適。

Aの要素で 0 が０個のとき、総和が 0 で同じものが３個以下なので、(1,1,1,2,2,2)
このとき、0 になるものが、(1,1,1)と(2,2,2)の２通りとなり不適。

従って、解は存在しません。

ちなみに、n=0～19 の場合は、上記と全く同じ手順で考えると、

　(0,0,0,1,1,2)、(0,0,1,2,2,2)、(0,1,1,1,2,2)

の３通りが条件を満たします。

# 条件は総和が190÷10=19≡1、3つの和が0,1,2になるものが順に7,7,6通り
# 解の存在証明ではありません。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１２月１８日付け）

　らすかるさん、まことに有難うございます。なるほど mod 3 で！ウロコが目からボロボロと。

【付記１】　（１）の解として、a=−5, b=2, c=3, d=4, e=6, f=9　があります。
おそらくはこれひとつだけと存じます。

【付記２】　（２）をおいかけていて、下記までで挫折しました。お笑いください。

a+b+c = 1　、d+e+f = 20　、a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f

実は、a < b < c < d < e < f　である。なんとなれば、たとえば、題意から、a+b+c < a+b+d
とならねばならず、他の組み合わせどうしでも同様だからである。

◆補題１　d ≤ 5

（証明）　6 ≤ d と仮定する。すると、d < e < f より、7 ≤ e、8 ≤ f　さらに、21 ≤ d+e+f　を得る。

これは、d+e+f = 20 と矛盾する。背理法により補題１「d ≤ 5」が証明された。

◆補題２　c ≤ 4　、b ≤ 3

（証明）　b < c < d ≤ 5　より明らか

◆補題３　-6 ≤ a

（証明）　c ≤ 4、b ≤ 3 より、b+c ≤ 7　で、a+b+c = 1 であるから、1 -a = b+c ≤ 7　より、-6 ≤ a

◆補題４　d = c +1

（証明）　３つの総和が最大のものは、d + e +f　、２番目に大きいものは、c +e +f

前者は 20 、後者は 19　ゆえに、d = c +1

ここから全数をあたるプログラムでも作ろうかと思っていたのです……とほほ


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年１２月１８日付け）

　Dengan kesaktian Indukmu さんの続きを手作業で証明してみました。

　a+b+c=1　から、c≧2　(∵　c≦1　ならば、a+b+c＜1)　よって、c=2、3、4

3番目に大きいものは、b+e+f または c+d+f

3番目に大きいものが b+e+f である場合

　b+1=c、c+1=d、1-b-c=a　なので、(a,b,c,d)=(-2,1,2,3),(-4,2,3,4),(-6,3,4,5)

(a,b,c,d)=(-2,1,2,3) の場合

1+2+3=6 なので、1～5 に -2 が使われる。

-2,1,2,3で 4 は作れないから、4-(-2)-2=4 または 4-(-2)-1=5 のいずれかが必要。

f≧8 なので、4 か 5 になるのは、e。

e=4 のとき、(-2)+1+4=(-2)+2+3=3 となり、不適。
e=5 のとき、(-2)+3+5=1+2+3=6 となり、不適。

よって、(a,b,c,d)=(-2,1,2,3) は、不適。

(a,b,c,d)=(-4,2,3,4) の場合

2+3+4=9 なので、1～8 に -4 が使われる。

-4,2,3,4で 4 は作れないから、4-(-4)-3=5 または 4-(-4)-2=6 のいずれかが必要。

f≧8 なので、5 か 6 になるのは、e。

e=5 のとき、(-4)+2+5=(-4)+3+4=3 となり、不適。
e=6 のとき、d+e+f=20 なので、f=10 となるが、(-4)+3+10=2+3+4=9 となり、不適。

よって、(a,b,c,d)=(-4,2,3,4) は、不適。

(a,b,c,d)=(-6,3,4,5) の場合

3+4+5=12 なので、1～11を作るのに -6 を使わなければならないが、-6 を使えるのはちょう
ど10回なので不適。

よって、(a,b,c,d)=(-6,3,4,5) も不適なので、「3番目に大きいものがb+e+f」は不適。

3番目に大きいものが c+d+f である場合

　c+1=d、d+1=e、20-d-e=f なので、(c,d,e,f)=(2,3,4,13),(3,4,5,11),(4,5,6,9)

(c,d,e,f)=(2,3,4,13) の場合

2+3+4=9 なので、10～20を作るのに13を使わなければならないが、13を使えるのはちょうど
10回なので不適。

(c,d,e,f)=(3,4,5,11) の場合

3+4+5=12 なので、13～20に11が使われる。

3,4,5,11で17は作れないから、17-11-5=1 または 17-11-4=2 のいずれかが必要。

a＜0 なので、1 か 2 になるのは、b　（∵a≧0 のとき、a+b+c≧3）。

b=1 のとき、a+b+c=1 なので、a=-3 となるが、-3+4+11=3+4+5=12 となり、不適。
b=2 のとき、2+5+11=3+4+11=18 となり、不適。

よって、(c,d,e,f)=(3,4,5,11) は、不適。

(c,d,e,f)=(4,5,6,9) の場合

4+5+6=15 なので、16～20に 9 が使われる。

4,5,6,9で17は作れないから、17-9-6=2 または 17-9-5=3 のいずれかが必要。

上と同様に、2 か 3 になるのは、b。

b=2 のとき、2+4+9=4+5+6=15 となり、不適。
b=3 のとき、3+6+9=4+5+9=18 となり、不適。

よって、(c,d,e,f)=(4,5,6,9) も不適なので、「3番目に大きいものがc+d+f」は不適。

以上により、解なし。


（コメント）　「（１）の解として、a=−5, b=2, c=3, d=4, e=6, f=9　があります。」とのことなので、検証
　　　　してみた。

　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１２月１８日付け）

　いやあ、素晴らしいです！


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年１２月１９日付け）

　n=0～19 に、同じ証明方法を適用すれば全解が得られるはずなので、やってみたくなりま
した。

　プログラムによる総当たりで、解は、(-5,2,3,4,6,9)の一つとわかっていますので、結果が合
えば内容を確認していただく必要はありません。ただの落書きとしてスルーして下さい。

　n=0～19 のとき、a＜b＜c＜d＜e＜f として、

a+b+c=0　、d+e+f=19　、d=c+1　、-7≦a≦-1　、-1≦b≦3　、1≦c≦4　、2≦d≦5　、3≦e≦8
8≦f≦14
(ここまで証明省略)

　c=1 のとき、(a,b,c,d)=(-1,0,1,2) となるが、このとき、a+d+e=b+c+e となり、不適。

よって、2≦c≦4、3≦d≦5、4≦e≦8、8≦f≦12。

3番目に大きいものは、b+e+f または c+d+f

3番目に大きいものが b+e+f である場合

b+1=c、c+1=d、a+b+c=0 なので、(a,b,c,d)=(-3,1,2,3)、(-5,2,3,4)、(-7,3,4,5)

(a,b,c,d)=(-3,1,2,3)の場合

1+2+3=6 なので、0～5 に -3 が使われる。

-3,1,2,3 で 3 は作れないから、3-(-3)-2=4 または 3-(-3)-1=5 のいずれかが必要。

f≧8 なので、4 か 5 になるのは、e。

e=4 のとき、(-3)+1+4=(-3)+2+3=2 となり、不適。
e=5 のとき、f=19-5-3=11 となるが、(-3)+1+11=1+3+5=9 となり、不適。

よって、(a,b,c,d)=(-3,1,2,3) は不適。

(a,b,c,d)=(-5,2,3,4)の場合

2+3+4=9 なので、0～8 に -5 が使われる。

-5,2,3,4 で 3 は作れないから、3-(-5)-3=5 または 3-(-5)-2=6 が必要。

f≧8 なので、5 か 6 になるのは、e。

e=5 のとき、(-5)+2+5=(-5)+3+4=2 となり、不適。
e=6 のとき、f=19-6-4=9 となるが、(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9) は、

(-5)+2+3=0, (-5)+2+4=1, (-5)+3+4=2, (-5)+2+6=3, (-5)+3+6=4, (-5)+4+6=5,(-5)+2+9=6,
(-5)+3+9=7, (-5)+4+9=8, 2+3+4=9, (-5)+6+9=10, 2+3+6=11, 2+4+6=12,3+4+6=13, 2+3+9=14,
2+4+9=15, 3+4+9=16, 2+6+9=17, 3+6+9=18, 4+6+9=19 となり、適。

よって、(a,b,c,d)=(-5,2,3,4) のときの解は、(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)

(a,b,c,d)=(-7,3,4,5)の場合

3+4+5=12 なので、0～11 に -7 が使われることになるが、-7 が使われるのは、10回なので
不適。

従って、「3番目に大きいものがb+e+f」のときに解が一つ得られた。

3番目に大きいものがc+d+fである場合

c+1=d, d+1=e, d+e+f=19 なので、(c,d,e,f)=(2,3,4,12),(3,4,5,10),(4,5,6,8)

(c,d,e,f)=(2,3,4,12)の場合

2+3+4=9 なので、10～19 に 12 が使われる。

2,3,4,12 で 16 は作れないから、16-12-4=0 または 16-12-3=1 のいずれかが必要。

a≦-1 なので、0 か 1になるのは、b。

b=0 のとき、a=0-0-2=-2 となるが (-2)+3+4=0+2+3=5 となり、不適。
b=1 のとき、1+4+12=2+3+12=17 となり、不適。

よって、(c,d,e,f)=(2,3,4,12) は不適。

(c,d,e,f)=(3,4,5,10)の場合

3+4+5=12 なので 13～19 に 10 が使われる。

3,4,5,10 で 16 は作れないから、16-10-5=1 または 16-10-4=2 のいずれかが必要。

a≦-1 なので、1 か 2 になるのは、b。

b=1 のとき、a=0-1-3=-4 となるが、(-4)+3+10=1+3+5=9 となり、不適。
b=2 のとき、2+5+10=3+4+10=17 となり、不適。

よって、(c,d,e,f)=(3,4,5,10) は不適。

(c,d,e,f)=(4,5,6,8)の場合

4+5+6=15 なので、16～19 に 8 が使われる。

4,5,6,8 で 16 は作れないから、16-8-6=2 または 16-8-5=3 のいずれかが必要。

a≦-1 なので、2 か 3 になるのは、b。

b=2 のとき、2+5+8=4+5+6=15 となり、不適。
b=3 のとき、3+6+8=4+5+8=17 となり、不適。

よって、(c,d,e,f)=(4,5,6,8) は、不適なので、「3番目に大きいものがc+d+f」は不適。

従って、条件を満たす解は、(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9) のみ。


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年１２月１９日付け）

　さらに、n=2～21 や n=3～22 などのように範囲を変えるとどうなるかを考えたのですが、
0～19 と 1～20 の場合からすべて導けますね。

　まず、a,b,c,d,e,f すべてに 1 を足せば、３つの和は３大きくなりますので、n=0～19 で解があ
ることから、n=3～22、6～25、9～28、…　でも　+1、+2、+3、…　した唯一解が存在することが
わかります。

　同様に、n=1～20 で解がないことから、n=4～23、7～26、10～29、…　でも解がないことが
わかります。

　そして、n=2～21 の場合は、n=0～19 のときの a,b,c,d,e,f を全部 7 から引いて、

　7-f　、7-e　、7-d　、7-c　、7-b　、7-a

をあらためて a,b,c,d,e,f とすると、３数の和は 21 から引いたものになり、2～21 が作れます。

よって、n=2～21 のときの唯一解は、

　(a,b,c,d,e,f)=(7-9,7-6,7-4,7-3,7-2,7-(-5))=(-2,1,3,4,5,12)

とわかり、上と同様に、n=5～24、8～27、11～30、…　では、それぞれに +1、+2、+3、… した
解が存在します。

従って、n=t～t+19 のときの一般解は、

t=3k のとき、　(a,b,c,d,e,f)=(-5+k, 2+k, 3+k, 4+k, 6+k, 9+k)
t=3k+1 のとき、解なし
t=3k+2 のとき、　(a,b,c,d,e,f)=(-2+k, 1+k, 3+k, 4+k, 5+k, 12+k)
(kは負でもOK)

とわかりました。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１２月１９日付け）

　らすかるさん、いろいろと勉強になります！

　《n=0～19 のときの a,b,c,d,e,f を全部 7 から引いて》→口をあんぐりとあけました！！！


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１２月２１日付け）

　 1〜20 で解がないことの超スッキリした証明、できました。

　Σ (S_n)^2 = 10*(a^2+b^2+……f^2) + 8*(ab+ac+……+ef)

すなわち、　2870 = (a+b+c+d+e+f)^2 + 9*(a^2+b^2+……f^2) + 6*(ab+ac+……+ef)

　左辺を 3 で割った余りは 2 、右辺を 3 で割った余りは 0 か 1 なので、条件を満たす数は
存在しない。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１２月２１日付け）

　DD++ さんによる鮮やかな短証明を拝見して、感激しております。

　2870 = (a+b+c+d+e+f)^2 + 9*(a^2+b^2+……f^2) + 6*(ab+ac+……+ef)

のところで、a+b+c+d+e+f = 21 を代入してもよいかもしれません。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１２月２１日付け）

　それをするには a+b+c+d+e+f = 21 の証明を書き足さないといけないので……。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１２月２１日付け）

　あっ、なるほど。これはウッカリしておりました。失礼いたしました。それにしても、平方で
評価するなんて驚きました。



　　以下、工事中！