ZERO 、ONE 、TWO 、THREE 、FOUR 、FIVE 、SIX 、SEVEN 、EIGHT 、NINE 、TEN
ELEVEN 、TWELVE
が構成できる。そこで、この１６個のアルファベットに適当にある整数を割り当てておくと、
Z+E+R+O=0 、O+N+E=1 、T+W+O=2 、T+H+R+E+E=3 、･････････ 、E+L+E+V+E+N=11
T+W+E+L+V+E=12
という等式が成立するようにするには、E,F,G,H,I,L,N,O,R,S,T,U,V,W,X,Zにどんな整数を割り当
てれば良いでしょうか？
#今まで数多く出題してきているので、もしかして過去に出題していたかも知れません。アップ
後探したら出題しておりました。
不定方程式となるので、解は無数にある事になってしまいます。各整数が「-11〜11」の範
囲で納まる部分での組合せで探して下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年１１月２０日付け）
整理すると、
e+o+r+z=0 、e+n+o=1 、o+t+w=2 、2e+h+r+t=3 、f+o+r+u=4 、e+f+i+v=5 、i+s+x=6
2e+n+s+v=7 、e+g+h+i+t=8 、e+i+2n=9 、e+n+t=10 、3e+l+n+v=11 、2e+l+t+v+w=12
それぞれの文字が含まれる方程式の数を数えて個数の昇順にすると、
1個: g,u,x,z 、2個: f,h,l,s,w 、3個: r 、4個: i,o,v 、5個: n,t 、10個: e
g,u,x,z は一度しか登場しないので、
e+o+r+z=0 、f+o+r+u=4 、i+s+x=6 、e+g+h+i+t=8
の4つは後回しで、残りは、
e+n+o=1 、o+t+w=2 、2e+h+r+t=3 、e+f+i+v=5 、2e+n+s+v=7 、e+i+2n=9 、e+n+t=10
3e+l+n+v=11 、2e+l+t+v+w=12
残った方程式で再度個数を数えると、
1個: f,h,r,s 、2個: i,l,o,w 、4個: t,v 、5個: n 、8個: e
f,h,r,s は一度しか登場しないので、
2e+h+r+t=3 、e+f+i+v=5 、2e+n+s+v=7
の3つは後回しで、残りは、
e+n+o=1 、o+t+w=2 、e+i+2n=9 、e+n+t=10 、3e+l+n+v=11 、2e+l+t+v+w=12
残った方程式で再度個数を数えると、
1個: i 、2個: l,o,v,w 、3個: t 、4個: n 、5個: e
i は一度しか登場しないので、e+i+2n=9 は後回しで、残りは、
e+n+o=1 、o+t+w=2 、e+n+t=10 、3e+l+n+v=11 、2e+l+t+v+w=12
残った方程式で再度個数を数えると、
2個: l,o,v,w 、3個: n,t 、4個: e
「2」の式から「1」の式を引いてoを消去すると、t+w-e-n=1
「12」の式からこの式を引いてwを消去すると、3e+l+n+v=11
これは、「11」の式と同じなので、残った式は、 e+n+t=10 、3e+l+n+v=11
n と t を固定して、e=10-n-t
「11」の式に代入してeを消去すると、 l+v=2n+3t-19
後回しにした式にvは登場し、l は登場しないので、vを固定して、 l=2n+3t-v-19
「12」の式の e に e=10-n-t と l=2n+3t-v-19 を代入して w を算出すると、w=11-2t
「2」の式に、w=11-2t を代入して o を算出すると、o=t-9
「9」の式から、i=t-n-1 「7」の式から、s=2n+2t-n-v-13 、「5」の式から、f=2n-v-4
「3」の式に未知数h,rが同時に登場するので、登場回数の多い r を固定して、h=2n-r+t-17
後は、最初に後回しにした4式から、
z=n-r-1 、u=v-2n-r-t+17 、x=v-3t+20 、g=r-2t+16
以上から、n、r、t、v は固定して、
e=10-n-t 、f=2n-v-4 、g=r-2t+16 、h=2n-r+t-17 、i=t-n-1 、l=2n+3t-v-19 、o=t-9
s=n+2t-v-13 、u=v-2n-r-t+17 、w=11-2t 、x=v-3t+20 、z=n-r-1
元の式に代入すると、0〜12が出てすべて正しいので、後は、条件(-11〜11)を満たすように
n、r、t、v を定めればよいのだが、解は多数ありそうなので、適当な解一つだけにする。
絶対値が最小になるように適当に値を決めると、
(e,f,g,h,i,l,n,o,r,s,t,u,v,w,x,z)=(1,4,5,-3,0,4,4,-4,-1,1,5,5,0,1,5,4)
※o+t=9なので、絶対値を4以下にするのは不可能
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年１１月２０日付け）
もし異なるアルファベットには異なる整数(-11〜11も含む)という条件が加わると、どれほど
の組合せの可能性が発生するもんですか？
らすかるさんからのコメントです。（令和６年１１月２０日付け）
その場合は、３通りですね。
(e,f,g,h,i,l,n,o,r,s,t,u,v,w,x,z)
=(-2,-6,0,-7,7,9,2,1,4,3,10,5,6,-9,-4,-3) 、(-1,-4,5,-11,6,8,2,0,7,3,9,1,4,-7,-3,-6) 、
(3,9,6,1,-4,0,5,-7,-6,-1,2,8,-3,7,11,10)
＃-10〜10 ならば、１通りでした。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年１１月２０日付け）
16個の変数で13個の方程式から通常では変数の中の3つを固定して(定数とみる。)13変数
の連立方程式として解こうとしていきたいが、これを行列Mを利用していくとき、正にその係数
を基とする行列がmatdet(M)=0 となってしまい、またmatrank(M)を調べたとき12を返されたの
はこの事だったのですね。
でも、どの2つの式から、既存の式が産み出せるのかわからなかった。全ての流れを詳しく
示して頂き、目的の組合わせが3つも知れたのはラッキーでした。
（追伸） この技をいろいろ試していたら、
E, F, G, H, I, L, N, O, R, S, T, U, V, W, X, Z
1;[3/4, 15/4, 3, -11/4, 5/4, 6, 7/2, -13/4, -3/2, 11/4, 23/4, 5, -3/4, -1/2, 2, 4]
2;[9/4, 17/4, 3, -17/4, 7/4, 5, 5/2, -15/4, -5/2, 13/4, 21/4, 6, -13/4, 1/2, 1, 4]
などの分数による対応でも可能な組合せも生まれてきました。
以下、工事中！
