|𝐴|₁₁=𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁
|𝐴|₁₂=𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂
|𝐴|₂₁=𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁
|𝐴|₂₂=𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂
は、quasideterminantといわれるものですね。
Aの逆行列𝐴⁻¹は、
(𝐴⁻¹)₁₁=|𝐴|₁₁⁻¹
(𝐴⁻¹)₁₂=|𝐴|₂₁⁻¹
(𝐴⁻¹)₂₁=|𝐴|₁₂⁻¹
(𝐴⁻¹)₂₂=|𝐴|₂₂⁻¹
であり、
|𝐴|₁₁⁻¹=(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹=(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁/|𝑎₂₂|²)⁻¹=|𝑎₂₂|²(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)⁻¹
=|𝑎₂₂|²(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/||𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎'₂₂𝑎₂₁|²
であり、
||𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁|²/|𝑎₂₂|²=(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/|𝑎₂₂|²
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
はStudyの行列式といってSdet(A)と表されます。
同様に、
|𝐴|₁₂⁻¹=(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹=(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂/|𝑎₂₁|²)⁻¹
=|𝑎₂₁|²(|𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)⁻¹=|𝑎₂₁|²(|𝑎₂₁|²𝑎̅₁₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)/||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²
|𝐴|₂₁⁻¹=(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹=(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁/|𝑎₁₂|²)⁻¹
=|𝑎₁₂|²(|𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)⁻¹=|𝑎₁₂|²(|𝑎₁₂|²𝑎̅₂₁-𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂)/||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²
|𝐴|₂₂⁻¹=(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹=(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂/|𝑎₁₁|²)⁻¹
=|𝑎₁₁|²(|𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)⁻¹=|𝑎₁₁|²(|𝑎₁₁|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁)/||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²
であり、
||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²/|𝑎₂₁|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂
||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²/|𝑎₁₂|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁
||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²/|𝑎₁₁|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂
𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂
=𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁=𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂=2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
なので、
||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²/|𝑎₂₁|²=||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²/|𝑎₁₂|²=||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²/|𝑎₁₁|²=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。
以上より、
(𝐴⁻¹)₁₁=(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₁₂=(|𝑎₁₂|²𝑎̅₂₁-𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₁=(|𝑎₂₁|²𝑎̅₁₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₂=(|𝑎₁₁|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。
A=(a_{ij})のエルミート共役な行列𝐴*は𝐴*=(𝑎̅ _{ji})であって、Aと𝐴*との積𝐴𝐴*は、
(𝐴𝐴*)₁₁=𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂
(𝐴𝐴*)₁₂=𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂
(𝐴𝐴*)₂₁=𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂
(𝐴𝐴*)₂₂=𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂
となり、𝐴𝐴*はエルミート行列となります。
エルミート行列X=(X_{ij}),𝑥̅₁₁=𝑥₁₁,𝑥̅₂₂=𝑥₂₂,𝑥̅₁₂=𝑥₂₁については、
Mooreの行列式Mdet(X)を𝑀𝑑𝑒𝑡(𝑋)=𝑥₁₁𝑥₂₂-|𝑥₁₂|²と定義できて、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴*)
=(𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂)(𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂)-(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。
以下、工事中！
