|𝐴|₁₁=𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁
|𝐴|₁₂=𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂
|𝐴|₂₁=𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁
|𝐴|₂₂=𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂
は、quasideterminantといわれるものですね。
Aの逆行列𝐴⁻¹は、
(𝐴⁻¹)₁₁=|𝐴|₁₁⁻¹
(𝐴⁻¹)₁₂=|𝐴|₂₁⁻¹
(𝐴⁻¹)₂₁=|𝐴|₁₂⁻¹
(𝐴⁻¹)₂₂=|𝐴|₂₂⁻¹
であり、
|𝐴|₁₁⁻¹=(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹=(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁/|𝑎₂₂|²)⁻¹=|𝑎₂₂|²(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)⁻¹
=|𝑎₂₂|²(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/||𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎'₂₂𝑎₂₁|²
であり、
||𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁|²/|𝑎₂₂|²=(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/|𝑎₂₂|²
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
はStudyの行列式といってSdet(A)と表されます。
同様に、
|𝐴|₁₂⁻¹=(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹=(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂/|𝑎₂₁|²)⁻¹
=|𝑎₂₁|²(|𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)⁻¹=|𝑎₂₁|²(|𝑎₂₁|²𝑎̅₁₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)/||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²
|𝐴|₂₁⁻¹=(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹=(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁/|𝑎₁₂|²)⁻¹
=|𝑎₁₂|²(|𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)⁻¹=|𝑎₁₂|²(|𝑎₁₂|²𝑎̅₂₁-𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂)/||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²
|𝐴|₂₂⁻¹=(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹=(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂/|𝑎₁₁|²)⁻¹
=|𝑎₁₁|²(|𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)⁻¹=|𝑎₁₁|²(|𝑎₁₁|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁)/||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²
であり、
||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²/|𝑎₂₁|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂
||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²/|𝑎₁₂|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁
||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²/|𝑎₁₁|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂
𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂
=𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁=𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂=2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
なので、
||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²/|𝑎₂₁|²=||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²/|𝑎₁₂|²=||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²/|𝑎₁₁|²=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。
以上より、
(𝐴⁻¹)₁₁=(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₁₂=(|𝑎₁₂|²𝑎̅₂₁-𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₁=(|𝑎₂₁|²𝑎̅₁₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₂=(|𝑎₁₁|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。
A=(a_{ij})のエルミート共役な行列𝐴*は𝐴*=(𝑎̅ _{ji})であって、Aと𝐴*との積𝐴𝐴*は、
(𝐴𝐴*)₁₁=𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂
(𝐴𝐴*)₁₂=𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂
(𝐴𝐴*)₂₁=𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂
(𝐴𝐴*)₂₂=𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂
となり、𝐴𝐴*はエルミート行列となります。
エルミート行列X=(X_{ij}),𝑥̅₁₁=𝑥₁₁,𝑥̅₂₂=𝑥₂₂,𝑥̅₁₂=𝑥₂₁については、
Mooreの行列式Mdet(X)を𝑀𝑑𝑒𝑡(𝑋)=𝑥₁₁𝑥₂₂-|𝑥₁₂|²と定義できて、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴*)
=(𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂)(𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂)-(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。
kuiperbelt さんからのコメントです。（令和６年１０月２７日付け）
3×3 以上の行列についても quasideterminant を定義できて、行列 A=(a_{ij}) に対して、
r_{i}^{j}:Aのi行からa_{ij}を除いた行ベクトル
c_{j}^{i}:Aのj列からa_{ij}を除いた列ベクトル
A^{ij}:Aからi行とj列を取り除いてできる行列
とすると、A=(a_{ij}) の各 quasideterminant は、|A|_{ij}=a_{ij}-r_{i}^{j}・A^{ij}・c_{j}^{i} となり、行
列Aの逆行列𝐴⁻¹の各成分は、
(𝐴⁻¹)_{ij}=|A|_{ij}^{-1}
となります。
3×3行列Aを
[𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃]
[𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃]
[𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃]
とすると、各 quasideterminant は
|𝐴|₁₁=𝑎₁₁-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁
|𝐴|₁₂=𝑎₁₂-𝑎₁₁(𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₂₂-𝑎₁₁(𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₃₂-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₂-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₂
|𝐴|₁₃=𝑎₁₃-𝑎₁₁(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₂₃-𝑎₁₁(𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₃₃-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₃-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₃
|𝐴|₂₁=𝑎₂₁-𝑎₂₂(𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₂₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₃₁-𝑎₂₃(𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₂₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₃₁
|𝐴|₂₂=𝑎₂₂-𝑎₂₁(𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₂₁(𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₃₂-𝑎₂₃(𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₂₃(𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₃₂
|𝐴|₂₃=𝑎₂₃-𝑎₂₁(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₂₁(𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₃₃-𝑎₂₂(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₂₂(𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₃₃
|𝐴|₃₁=𝑎₃₁-𝑎₃₂(𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₃₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₃₃(𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₃₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₂₁
|𝐴|₃₂=𝑎₃₂-𝑎₃₁(𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₃₁(𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₂₂-𝑎₃₃(𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₃₃(𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₂₂
|𝐴|₃₃=𝑎₃₃-𝑎₃₁(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₃₁(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₂₃-𝑎₃₂(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₃₂(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₂₃
となります。
Aの逆行列 𝐴⁻¹ については、
(𝐴⁻¹)₁₁=|𝐴|₁₁⁻¹, (𝐴⁻¹)₁₂=|𝐴|₂₁⁻¹, (𝐴⁻¹)₁₃=|𝐴|₃₁⁻¹,(𝐴⁻¹)₂₁=|𝐴|₁₂⁻¹, (𝐴⁻¹)₂₂=|𝐴|₂₂⁻¹, (𝐴⁻¹)₂₃=|𝐴|₃₂⁻¹,(𝐴⁻¹)₃₁=|𝐴|₁₃⁻¹,
(𝐴⁻¹)₃₂=|𝐴|₂₃⁻¹, (𝐴⁻¹)₃₃=|𝐴|₃₃⁻¹
であり、
𝑎₁₁-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁
=𝑎₁₁-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂/|𝑎₃₃|²)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂/|𝑎₂₃|²)⁻¹𝑎₃₁
-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃/|𝑎₃₂|²)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃/|𝑎₂₂|²)⁻¹𝑎₃₁
=𝑎₁₁-|𝑎₃₃|²𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁-|𝑎₂₃|²𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
-|𝑎₃₂|²𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁-|𝑎₂₂|²𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁
=𝑎₁₁-|𝑎₃₃|²𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁/||𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂|²
-|𝑎₂₃|²𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁/||𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂|²
-|𝑎₃₂|²𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁/||𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃|²
-|𝑎₂₂|²𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁/||𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃|²
=𝑎₁₁-(𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁+𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁
+𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁+𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)
より、
(𝐴⁻¹)₁₁=(𝑎₁₁-(𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁+𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
+𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁+𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁))⁻¹
=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎₁₁-(𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁+𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁
+𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁+𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁))⁻¹
=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎̅₁₁-(𝑎̅₂₁(|𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)𝑎̅₁₂+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)𝑎̅₁₂
+𝑎̅₂₁(|𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)𝑎̅₁₃+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)𝑎̅₁₃))
/|𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎₁₁-(𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁+𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁
+𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁+𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁)|²
=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎̅₁₁-(𝑎̅₂₁(|𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)𝑎̅₁₂+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)𝑎̅₁₂
+𝑎̅₂₁(|𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)𝑎̅₁₃+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)𝑎̅₁₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
であり、Sdet(A)はAのStudy行列式で、
𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)=
|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₃|²+|𝑎₁₁|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₃|²
+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₁|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₁|²
-2|𝑎₁₁|²𝑅𝑒(𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₂|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₃|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₂₂)
-2|𝑎₂₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₁₂)
-2|𝑎₃₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₁₁)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)
となります。
他の成分についても、
(𝐴⁻¹)₁₂=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₂𝑎̅₁₂-(𝑎̅₂₂(|𝑎₃₃|²𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₁)𝑎̅₁₁+𝑎̅₃₂(|𝑎₂₃|²𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₁)𝑎̅₁₁
+𝑎̅₂₂(|𝑎₃₁|²𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃)𝑎̅₁₃+𝑎̅₃₂(|𝑎₂₁|²𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃)𝑎̅₁₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₁₃=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₃𝑎̅₁₃-(𝑎̅₂₃(|𝑎₃₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁)𝑎̅₁₁+𝑎̅₃₃(|𝑎₂₂|²𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)𝑎̅₁₁
+𝑎̅₂₃(|𝑎₃₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂)𝑎̅₁₂+𝑎̅₃₃(|𝑎₂₁|²𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)𝑎̅₁₂))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₁=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₂₁𝑎̅₂₁-(𝑎̅₁₁(|𝑎₃₃|²𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)𝑎̅₂₂+𝑎̅₃₁(|𝑎₁₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₁₃𝑎₁₂)𝑎̅₂₂
+𝑎̅₁₁(|𝑎₃₂|²𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)𝑎̅₂₃+𝑎̅₃₁(|𝑎₁₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₁₂𝑎₁₃)𝑎̅₂₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₂=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₂₂𝑎̅₂₂-(𝑎̅₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₁)𝑎̅₂₁+𝑎̅₃₂(|𝑎₁₃|²𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎̅₁₃𝑎₁₁)𝑎̅₂₁
+𝑎̅₁₂(|𝑎₃₁|²𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃)𝑎̅₂₃+𝑎̅₃₂(|𝑎₁₁|²𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎̅₁₁𝑎₁₃)𝑎̅₂₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₃=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₂₃𝑎̅₂₃-(𝑎̅₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁)𝑎̅₂₁+𝑎̅₃₃(|𝑎₁₂|²𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)𝑎̅₂₁
+𝑎̅₁₃(|𝑎₃₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂)𝑎̅₂₂+𝑎̅₃₃(|𝑎₁₁|²𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)𝑎̅₂₂))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₃₁=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₃₁𝑎̅₃₁-(𝑎̅₁₁(|𝑎₂₃|²𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)𝑎̅₃₂+𝑎̅₂₁(|𝑎₁₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₁₃𝑎₁₂)𝑎̅₃₂
+𝑎̅₁₁(|𝑎₂₂|²𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)𝑎̅₃₃+𝑎̅₂₁(|𝑎₁₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₃)𝑎̅₃₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₃₂=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₃₂𝑎̅₃₂-(𝑎̅₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₁)𝑎̅₃₁+𝑎̅₂₂(|𝑎₁₃|²𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎̅₁₃𝑎₁₁)𝑎̅₃₁
+𝑎̅₁₂(|𝑎₂₁|²𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃)𝑎̅₃₃+𝑎̅₂₂(|𝑎₁₁|²𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₃)𝑎̅₃₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₃₃=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₃₃𝑎̅₃₃-(𝑎̅₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)𝑎̅₃₁+𝑎̅₂₃(|𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)𝑎̅₃₁
+𝑎̅₁₃(|𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)𝑎̅₃₂+𝑎̅₂₃(|𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)𝑎'₃₂))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。
3×3のエルミート行列H
[𝑥₁₁ 𝑥₁₂ 𝑥₁₃]
[𝑥₂₁ 𝑥₂₂ 𝑥₂₃]
[𝑥₃₁ 𝑥₃₂ 𝑥₃₃]
𝑥₁₁=𝑥̅₁₁,𝑥₂₂=𝑥̅₂₂,𝑥₃₃=𝑥̅₃₃,𝑥̅₁₂=𝑥₂₁,𝑥̅₂₃=𝑥₃₂,𝑥̅₃₁=𝑥₁₃
についてMooreの行列式は、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝑋)
=𝑥₁₁𝑥₂₂𝑥₃₃-𝑥₁₁𝑥₂₃𝑥₃₂-𝑥₁₃𝑥₃₁𝑥₂₂-𝑥₁₂𝑥₂₁𝑥₃₃+𝑥₁₂𝑥₂₃𝑥₃₁+𝑥₁₃𝑥₃₂𝑥₂₁
=𝑥₁₁𝑥₂₂𝑥₃₃-𝑥₁₁|𝑥₂₃|²-𝑥₂₂|𝑥₃₁|²-𝑥₃₃|𝑥₁₂|²+𝑥₁₂𝑥₂₃𝑥₃₁+𝑥̅₁₃𝑥̅₂₁𝑥̅₃₂
=𝑥₁₁𝑥₂₂𝑥₃₃-𝑥₁₁|𝑥₂₃|²-𝑥₂₂|𝑥₃₁|²-𝑥₃₃|𝑥₁₂|²+2𝑅𝑒(𝑥₁₂𝑥₂₃𝑥₃₁)
と定義できて、3×3行列Aを
[𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃]
[𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃]
[𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃]
とすると、Aのエルミート行列𝐴*との積𝐴𝐴*は、
[𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂+𝑎₁₃𝑎̅₁₃ 𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₁₃𝑎̅₂₃ 𝑎₁₁𝑎̅₃₁+𝑎₁₂𝑎̅₃₂+𝑎₁₃𝑎̅₃₃]
[𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₂₃𝑎̅₁₃ 𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂+𝑎₂₃𝑎̅₂₃ 𝑎₂₁𝑎̅₃₁+𝑎₂₂𝑎̅₃₂+𝑎₂₃𝑎̅₃₃]
[𝑎₃₁𝑎̅₁₁+𝑎₃₂𝑎̅₁₂+𝑎₃₃𝑎̅₁₃ 𝑎₃₁𝑎̅₂₁+𝑎₃₂𝑎̅₂₂+𝑎₃₃𝑎̅₂₃ 𝑎₃₁𝑎̅₃₁+𝑎₃₂𝑎̅₃₂+𝑎₃₃𝑎̅₃₃]
でエルミート行列であり、Mooreの行列式は、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴*)
=(|𝑎₁₁|²+|𝑎₁₂|²+|𝑎₁₃|²)(|𝑎₂₁|²+|𝑎₂₂|²+|𝑎₂₃|²)(|𝑎₃₁|²+|𝑎₃₂|²+|𝑎₃₃|²)
-(|𝑎₁₁|²+|𝑎₁₂|²+|𝑎₁₃|²)(𝑎₂₁𝑎̅₃₁+𝑎₂₂𝑎̅₃₂+𝑎₂₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₂₁+𝑎₃₂𝑎̅₂₂+𝑎₃₃𝑎̅₂₃)
-(|𝑎₂₁|²+|𝑎₂₂|²+|𝑎₂₃|²)(𝑎₁₁𝑎̅₃₁+𝑎₁₂𝑎̅₃₂+𝑎₁₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₁₁+𝑎₃₂𝑎̅₁₂+𝑎₃₃𝑎̅₁₃)
-(|𝑎₃₁|²+|𝑎₃₂|²+|𝑎₃₃|²)(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₁₃𝑎̅₂₃)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₂₃𝑎̅₁₃)
+(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₁₃𝑎̅₂₃)(𝑎₂₁𝑎̅₃₁+𝑎₂₂𝑎̅₃₂+𝑎₂₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₁₁+𝑎₃₂𝑎̅₁₂+𝑎₃₃𝑎̅₁₃)
+(𝑎₁₁𝑎̅₃₁+𝑎₁₂𝑎̅₃₂+𝑎₁₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₂₁+𝑎₃₂𝑎̅₂₂+𝑎₃₃𝑎̅₂₃)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₂₃𝑎̅₁₃)
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₃|²+|𝑎₁₁|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₃|²
+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₁|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₁|²
-2|𝑎₁₁|²𝑅𝑒(𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₂|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₃|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₂₂)
-2|𝑎₂₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₁₂)
-2|𝑎₃₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₁₁)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)
=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。
以下、工事中！
