ある数Pが下記①の性質を持つとき、Pのみから a と b を求める方法を思い付きました。
① P＝a^2＋b^2
※ただし、a は、３以上の奇数、b は、(2×( a の桁数)＋1)桁以上の偶数
（例えば、a が10桁なら、bは21桁以上）
自分で計算している分にはうまく算出出来ているのですが、１人で考えている為、なにか勘
違いがあるかもしれず不安があります。
つきましては、どなたか試しに問題を出して頂けませんでしょうか？うまくいけば翌日まで
には解答出来ると思います
(自宅の安いノートPCで計算している為、解答出来なかったらゴメンナサイ)
Pはとりあえず1000桁以下で、どうぞ宜しくお願いいたします。
例 下記のPを二平方和で表せ。（①の性質を持つものとする）
P=
79300000037195311469172088857218716366006504413694
67498094008133486079015170644844470927388048966664
71364084114224459809838073427764684299991893020117
87456020152022982982334498187590674933322035197451
04138548852323106359705380406209799321075786700748
97251075824794270095130531665785303520499625246843
70719102407952977609918264565309676875315113912408
70267500957407099187560193071952151611248261841935
69337549765652585924269731770243974032307256739067
91188751144938670681822892207721337339864143140179
90528196878053630706148037821924972860860994861603
49098958042925035090429124946155124465500090226636
49467540005250471043364183315967627035324264859599
67141415803012592347134057555165265478404500762265
44199380968805924457560332031071504504197590397342
71810321003237239447831652868964102212153370316814
06796846409047670450150851793080134210157112772689
58519839847317362637053099816619843793064691538365
63139531004179897193286960125022553379570957235139
114494973770246343671593770077506746282454373742765
解答 P＝a^2＋b^2 として、
a=971850087035976191464617231403297972574042219987
37604269099307011774498957130732413787709812587433
59436158490894589690601193310837963651081208892631
60509147749602073918962661325153912810181096212403
04342638679979807519201662423980308668745308379247
49
b=281602556872616679494401001682286851751858783815
69338551112252743400193260172387120135518294422427
78838310590521946063454706138104382199264928161756
74092487130258413580634521135685378302594171044661
48079337014481304132621133013307367835289583866914
10360524815089534203712403396836912245502098199475
20868911981852164328164894139907121661474629654027
63051608555640043109432063403957953650490954108565
20533856524433967448235687012774426104809360200738
20583425159772741360209507101982427257315634250395
458
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年９月１日付け）
お試しですが。
条件【※ただし、a は、３以上の奇数、b は、(2×( a の桁数)＋1)桁以上の偶数】での、桁
数の縛りについては確かめておりませんけれども、奇数^2 +偶数^2 であることを個人的に
は確かめた気持ちになっている以下のPをお願いします。下記のPについては素因数分解
の結果を知っております。
P = 10^110 +1
桁数のオーダーが甘くてすみません。
上記で、私が依拠したのは以下の定理なのでした。
合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として３
に合同な素因数が全て平方（冪指数が偶数）になっていることである。
素因数分解して上を確認できる大きな数を探したのです。そうしたら自明なものになってし
まっていました。申し訳ないことです。
inazuma_50683645,16565517 さんからのコメントです。（令和６年９月１日付け）
P=(10^55)^2+1^2
= 89・101・661・3541・18041・27961・148721・1052788969・1056689261・1121407321・
1395900370 916327245555441901・36380545029953205956377406702261
ですかね（素因数分解は他力で行いましたw）
らすかるさんからのコメントです。（令和６年９月１日付け）
a が n 桁、b が 2n+1 桁以上ならば、10^(n-1)≦a＜10^n、b≧10^(2n) となり
(b+1)^2-(b^2+a^2)=2b+1-a^2＞2・10^(2n)+1-10^(2n)=10^(2n)+1＞0
から、(b+1)^2＞a^2+b^2＞b^2 なので、b=[√P] （[ ]はガウス記号） で、bが求まりますね。
上記は、a、b の偶奇と関係ありませんので、「b が、(2×( a の桁数)＋1)桁以上」という条件
さえあれば、a、b の偶奇にかかわらず求められると思います。
inazuma_50683645,16565517 さんからのコメントです。（令和６年９月１日付け）
らすかるさん、ご返信ありがとうございます。さすらすです！（流石らすかるさんの略w）
私の場合 a から求める方法を試していたので、ご指摘には目から鱗です。ありがとうござ
います。
inazuma_50683645,16565517 さんからのコメントです。（令和６年９月２日付け）
らすかるさんの方法を応用して、桁数差を減らす事は可能でしょうか？
例えば、「bが(2×(aの桁数))桁以上」、「bが(2×(aの桁数)-1)桁以上」等、a、b の桁数差を
減らす事は可能でしょうか？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年９月２日付け）
なぜ十進数で桁数を？と初見で感じました。私も期待しています。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年９月２日付け）
上に書いた方法は、要は、(b＋1)^2－(b^2＋a^2)＝2b＋1－a^2＞0 であれば良いので、
a^2＜2b＋１ すなわち、 a^2≦2b であれば、b＝[√P] が成り立ちます。
b が 2n 桁でも良いようにするためには、例えば、b＋1 を b＋5 に変えると、
(b＋5)^2－(b^2＋a^2)＝10b＋25－a^2＞0 すなわち、 a^2＜10b＋25
→ b＜√P＜b＋5 すなわち、[√P]－5＜b≦[√P]
つまり、b は、[√P]、[√P]－1、[√P]－2、[√P]－3、[√P]－4 のどれかなので、
この５個で計算してみれば、b が 2n 桁の場合も対応できるようになります。
同様に、[√P]～[√P]－49 の５０個で計算すれば、b が 2n－1 桁でもOK、
[√P]～[√P]－499 の５００個で計算すれば、b が 2n－2桁 でもOKのようになりますが、
巨大数で b を(定数)桁縮めたところで、あまり意味はないような気がします。
inazuma_50683645,16565517 さんからのコメントです。（令和６年９月２日付け）
らすかるさん、詳しい解説有難うございます。やはり難しい事を再確認いたしました。自分
なりにまた考えてみたいと思います。ありがとうございました。
inazuma_50683645,16565517 さんからのコメントです。（令和６年１２月１日付け）
以前、ある合成数Pが下記①の性質を持つならば、b=[√P] （[ ]はガウス記号）で、b が
求まる事をらすかるさんに教えて頂きましたが、
① P＝a^2＋b^2 ※ただし、a、b は自然数、b は、(2×(aの桁数)＋1)桁以上の数
それと似たような手法で、平方差も求められる事が分かりました。
すなわち、ある合成数 q が下記②の性質を持つとき、x＝[√q]＋1 （[ ]はガウス記号）
で x が求まり、そこから平方差が求められ、結論として、素因数分解可能。
② q＝x^2－y^2 ※ただし、x、y は自然数であり、x は、(2×(yの桁数)＋1)桁以上の数
例：次の③ q を素因数分解せよ。だだし、②の性質を持つものとする。
③ q=975461057985063252585468007926206200262277
C=[√q] として、C=987654321098765432108
E=C+1 として、E=987654321098765432109
E^2 を計算して、E^2=975461057985063252585526596557677488187881
F=E^2-q として、
F=975461057985063252585526596557677488187881
-975461057985063252585468007926206200262277
=58588631471287925604
√F を計算して、√F=7654321098
E+√F を計算して、
E+√F=987654321098765432109+7654321098=987654321106419753207
q/(E+√F) を計算して、
975461057985063252585468007926206200262277/987654321106419753207
=987654321091111111011（割り切れた）
よって、 q=987654321106419753207×987654321091111111011 （終）
DD++ さんからのコメントです。（令和６年１２月２日付け）
数学感動秘話 > 「緊急の因数分解」 あたりの話ですかね？
比が1に近い2数の積から元の2数を求める話。
inazuma_50683645,16565517 さんからのコメントです。（令和６年１２月２日付け）
DD++さん、コメントありがとうございます。「緊急の因数分解」読ませていただきました。
"比が1に近い2数の積から元の2数を求める"方法ではあるのですけれども、私としては
その比を少しでも１より遠ざける手法を模索している所です、また何か進展があれば、投稿
させていただきたいと思います。
以下、工事中！
