すべての数の分割が 1 つだけ含まれる分割です。
したがって、1^n はすべての n に対して完全な分割です。
例えば、n=5 の場合、分割方法は、
1;[5]
2;[1, 4]
3;[2, 3]
4;[1, 1, 3]
5;[1, 2, 2]
6;[1, 1, 1, 2]
7;[1, 1, 1, 1, 1]
が考えられるが、
[1, 1, 3] では、
1=1
2=1+1
3=3
4=3+1
5=3+1+1
と、1〜5 が、この材料でただ一通りずつで構成できる。
同じく、[1, 2, 2]も
1=1
2=2
3=2+1
4=2+2
5=2+2+1
で、1〜5 がこの材料でただ一通りずつで構成できる。
また、明らかに、[1, 1, 1, 1, 1] もそれが可能。
この３通りを完全な分割と呼ぼう。
一方、n=5 の次の数 6 では、これを積で表す方法が、6、2*3、3*2 (場所が違えば異なるも
のとカウントする。)の３通りと、n=5 での完全な分割数と同じ数が対応している。
また、n=7 の場合は、
1;[7]
2;[1, 6]
3;[2, 5]
4;[3, 4]
5;[1, 1, 5] (1,2,5,6,7)しか作れない。
6;[1, 2, 4] (1,2,3,4,5,6,7) OK!
7;[1, 3, 3] (1,3,4,6,7)しか作れない。
8;[2, 2, 3]
9;[1, 1, 1, 4] (1,2,3,4,5,6,7) OK!
10;[1, 1, 2, 3] (1,2,3,4,5,6,7) しかし、2=1+1、3=1+2、4=1+1+2=1+3 と重複で存在
11;[1, 2, 2, 2] (1,2,3,4,5,6,7) OK!
12;[1, 1, 1, 1, 3] (1,2,3,4,5,6,7) しかし、4=1+1+1+1=1+3 と2つ存在
13;[1, 1, 1, 2, 2] (1,2,3,4,5,6,7) しかし、4=1+1+2=2+2 と2つ存在
14;[1, 1, 1, 1, 1, 2] しかし、2=1+1、3=1+2=1+1+1 と重複で存在
15;[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] (1,2,3,4,5,6,7) OK!
より、完全な分割は、
[1, 2, 4]、[1, 1, 1, 4]、[1, 2, 2, 2]、[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
の４通り存在する。
一方、8 での積の分割では、8、2*4、4*2、2*2*2 の全部で４通り存在できる。
本当に、この関係は常に成立するものなのか？
n=11 での和の完全な分割と 12 での積の分割
n=23 での和の完全な分割と 24 での積の分割
を具体的に示してみて下さい。
kuiperbelt さんからのコメントです。（令和６年８月１６日付け）
11 での和の完全な分割は、
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,6
1,1,1,4,4
1,1,3,3,3
1,1,3,6
1,2,2,2,2,2
1,2,2,6
1,2,4,4
の８通りで、12 での積の分割も、12、2*6、6*2、3*4、4*3、2*2*3、2*3*2、3*2*2 の８通り。
23 での和の完全な分割は、
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,12
1,1,1,1,1,1,1,8,8
1,1,1,1,1,6,6,6
1,1,1,1,1,6,12
1,1,1,4,4,4,4,4
1,1,1,4,4,12
1,1,1,4,8,8
1,1,3,3,3,3,3,3,3
1,1,3,3,3,12
1,1,3,6,6,6
1,1,3,6,12
1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2
1,2,2,2,2,2,12
1,2,2,2,8,8
1,2,2,6,6,6
1,2,2,6,12
1,2,4,4,4,4,4
1,2,4,4,12
1,2,4,8,8
の２０通りで、24 での積の分割も、
24、2*12、12*2、3*8、8*3、4*6、6*4、2*2*6、2*6*2、6*2*2、2*3*4、2*4*3、3*2*4、3*4*2、
3*4*2、4*3*2、2*2*2*3、2*2*3*2、2*3*2*2、3*2*2*2
の２０通り。
1+x+x^2+…+x^11を係数が非負整数となるように因数分解すると、
1+x+x^2+…+x^11
=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^6)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^4+x^8)
=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6+x^9)
=(1+x+x^2)(1+x^3)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10)
=(1+x)(1+x^2+x^4)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8)
の８通りの形で表すことができますが、このことと関係あるのでしょうか。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年８月１７日付け）
なるほど、この完全分割はこの展開式と繋がれるんですね。ですから、２つとも自然数ｎの
素因数分解形のタイプをもって、一つ違いの自然数で和の完全分割と積の分割方法が同じ
数値を取っていける。
<n(型)>; <積の分割方法>;<和の完全分割方法>;
1 ; 1; 1;
2(p) ; 1; 1;
3(p) ; 1; 2;
4(p^2) ; 2; 1;
5(p) ; 1; 3;
6(p*q) ; 3; 1;
7(p) ; 1; 4;
8(p^3) ; 4; 2;
9(p^2) ; 2; 3;
10(p*q); 3; 1;
11(p) ; 1; 8;
12(p^2*q); 8; 1;
13(p) ; 1; 3;
14(p*q); 3; 3;
15(p*q); 3; 8;
16(p^4); 8; 1;
17(p) ; 1; 8;
18(p^2*q); 8; 1;
19(p) ; 1; 8;
20(p^2*q); 8; 3;
21(p*q); 3; 3;
22(p*q); 3; 1;
23(p) ; 1; 20;
24(p^3*q); 20; 2;
･････････････
以下、素因数分解型と<積の分割方法>とは一対一の対応が突きそうだが、上の例にもあ
る様に、p^2*q型とp^4型は同じ値の8を取ってしまう。
他にも、p^6*q型とp^9型は同じ値256となってしまう。
そこで、今度は、そのような分解型が異なっても同じ値を取ってしまう２組を、これ以外に
探してほしい。
kuiperbelt さんからのコメントです。（令和６年８月１９日付け）
p^n の積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置する方法
の数と等しくなるので、
1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1)=2^(n-1) （通り）
p^n*q の積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、さら
に、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、qを両端か、
(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しくなるので、
3+5*C(n-1,1)+7*C(n-1,2)+...+(2*n+1)*C(n-1,n-1)
=3*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))+2*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
=3*2^(n-1)+(n-1)*2^(n-1)
=(n+2)*2^(n-1) （通り）
p^m の積の分割の数 2^(m-1) と p^n*q の積の分割の数 (n+2)*2^(n-1) が等しくなるのは、
(n+2)*2^(n-1)=2^(m-1)
n+2=2^(m-n)
より、n=2^k-2 (k≧2) のときで、このとき、m=n+k=2^k+k-2
k=2 のとき、(m,n)=(4,2)、k=3 のとき、(m,n)=(9,6)であり、以下、
k=4 のとき、(m,n)=(18,14)、k=5 のとき、(m,n)=(35,30)、… となる。
p^n*q^2 の積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、2個のqを
両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しくなり、さらに、
両端と区切り上に2個配置する場合は、2個のqを分割して配置する場合と分割せずに配置
する場合があるのでので、方法の数は、
(C(4,2)+2)+(C(5,2)+3)*C(n-1,1)+(C(6,2)+4)*C(n-1,2)+・・・+(C(n+3,2)+n+1)*C(n-1,n-1)
=8*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))+(9/2)*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+(1/2)*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=8*2^(n-1)+(9/2)*(n-1)*2^(n-2)+(1/2)*n(n-1)*2^(n-3)
=(n^2+17*n+46)*2^(n-4) （通り）
p^n*q*r の積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、q,rを両端
か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しくなり、さらに、両端
と区切り上に q,r を配置する場合は、q*r として配置する場合と、r*q として配置する場合と、
分割せずに配置する場合があるので、方法の数は、
(3^2+2*2)+(5^2+2*3)*C(n-1,1)+(7^2+2*4)*C(n-1,2)+・・・+((2*n+1)^2+2*(n+1))*C(n-1,3)
=13*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))+14*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+4*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=13*2^(n-1)+7*(n-1)*2^(n-1)+n(n-1)*2^(n-1)
=(n^2+6*n+6)*2^(n-1) （通り）
p^n*q^2、p^n*q*r の場合も調べてみましたが、p^n、p^n*q の場合と等しくなる例は見つ
かりませんでした。p^n*q^2 と p^n*q*r の相互間でも見つかりませんでした。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年８月２０日付け）
ご考察ありがとうございます。この様に式で評価していけるもんなんですね。自分はひたす
ら可能な限りで p^a;p^b*q (p=2,q=3で処理）で同じ数値が現れる部分を拾い集めて、
(a,b)=(4,2)、(9,6)、(18,14)、(35,30)、(68,62)
まで何とかあつめてみました。
見ていると、{a}と{ｂ｝は、2、3、4、5、6 の差で結ばれているし、
4=2^2 、9=2^3+1 、18=2^4+2 、35=2^5+3 、68=2^6+4
が見えてきたので、n=1,2,3,･････
a(n)=2^(n+1)+n-1 、b(n)=2^(n+1)-2
これを元に先を拾うと、
(a,b)=(133,126)、(262,254)、(519,510)、(1032,1022)、(2057,2046)、････････････
と無限に重なる部分は存在していることになる。
当初の目的は、自然数nを素因数分解した時に素数には影響されずその素因数タイプ（指
数部分での分類)をある数値と一対一に当てはめたいのであるが、前々回の調査での
<積の分割方法> 、<和の完全分割方法>
のどちらを使っても、上記の重複が起こってしまう。
「A034776」;Gozinta numbers（「A074206」で現れる数列をソートして並べたもの)
これに対し、Indukmuさんが提示した
0〜ｎ^2-1の数字をただ一通りだけn個の要素を持つ２つの集合の和でできる可能性を与
える「A273013」での数値を使えば、
p^4→35
p^2*q→42 ;「A034776」ではどちらも8の値をとる。
p^9→24310
p^6*q→28644 ;「A034776」ではどちらも256の値をとる。
p^18→4537567650
p14*q→5094808200 ;「A034776」ではどちらも131072の値をとる。
p^35→ 56093138908331422716
p^30*q→60433201179644187664 ;「A034776」ではどちらも17179869184の値をとる。
･･････････････････
以下、下の式を利用して値が定まっていく。
*これらの計算ではどんな素数p,qでも
p^a→binomial(2*a,a)/2
p^b*q→(b^2+4*b+2)*binomial(2*b.b)/2
が使える。（「A273013」参照）
と重なる値は分かれて行き、すべての素因数分解でのタイプは、この数値で一対一の対応
が出来ることになれると思われます。
なお、n=2〜1000までの数字を分類したものが、
nの代表 ;素因数のタイプ ;指標の値(「A277013」で決まる値)
2 ;[1]〜(p) ;1 (他の素数もすべて)
4 ;[2]〜(p^2) ;3 (9,25,49,･･･など)
6 ;[1, 1]〜(p*q) ;7 (10,14,15,･･･など)
8 ;[3]〜(p^3) ;10 (27,125,343,･･･など)
16 ;[4]〜(p^4) ;35
12 ;[2, 1]〜(p^2*q) ;42
30 ;[1, 1, 1]〜(p*q*r);115
32 ;[5]〜 以下同様 ;126
24 ;[3, 1]〜 ;230
36 ;[2, 2]〜 ;393
64 ;[6]〜 ;462
60 ;[2, 1, 1]〜 ;1158
48 ;[4, 1]〜 ;1190
128 ;[7]〜 ;1716
72 ;[3, 2]〜 ;3030
210 ;[1, 1, 1, 1]〜 ;3451
96 ;[5, 1]〜 ;5922
256 ;[8]〜 ;6435
120 ;[3, 1, 1]〜 ;9350
180 ;[2, 2, 1]〜 ;16782
144 ;[4, 2]〜 ;20790
192 ;[6, 1]〜 ;28644
216 ;[3, 3]〜 ;30670
420 ;[2, 1, 1, 1]〜 ;52422
240 ;[4, 1, 1]〜 ;66290
288 ;[5, 2]〜 ;131796
384 ;[7, 1]〜 ;135564
360 ;[3, 2, 1]〜 ;180990
432 ;[4, 3]〜 ;264740
900 ;[2, 2, 2]〜 ;334833
480 ;[5, 1, 1]〜 ;430794
840 ;[3, 1, 1, 1]〜 ;583670
768 ;[8, 1]〜 ;630630
576 ;[6, 2]〜 ;788634
720 ;[4, 2, 1]〜 ;1636740
864 ;[5, 3]〜 ;2050020
960 ;[6, 1, 1]〜 ;2628780
で分類されていく。
kuiperbelt さんからのコメントです。（令和６年８月２３日付け）
p^n*q をk個の約数に順序を区別して分割する方法の数を、b_1、b_2、b_3、…、b_n、b_(n+1)
とすると、不分割の場合はいうまでもなく b_1=1 で、２分割の場合は、n個のpを２グループに
分割して、qをいずれかのグループに配置する場合と、n個のpが不分割で両端のいずれか
にqを配置する場合があるので、
b_2=2*C(n-1,1)+2=2*C(n,1)
３分割の場合は、n個のpを３グループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを２グループに分割して両端と間の1個の隙間のいずれかにqを配置する場合がある
ので、
b_3=3*C(n-1,2)+3*C(n-1,1)=3*C(n,2)
…
k分割の場合は、n個のpをkグループに分割して、qをいずれかのグループに配置する場合
と、n個のpを(k-1)グループに分割して両端と間の(k-2)個の隙間のいずれかにqを配置する
場合があるので、
b_k=k*C(n-1,k-1)+k*C(n-1,k-2)=k*C(n,k-1)
…
n分割の場合は、n個のpをnグループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを(n-1)グループに分割して両端と間の(n-2)個の隙間のいずれかにqを配置する場合
があるので、
b_n=n*C(n-1,n-1)+n*C(n-1,n-2)=n*C(n,n-1)
(n+1)分割の場合は、n個のpをnグループに分割して両端と間の(n-1)個の隙間のいずれか
にqを配置する場合のみなので、
b_(n+1)=(n+1)*C(n-1,n-1)=(n+1)*C(n,n)
となります。
p^n*qをk個の約数に順序を区別して分割する方法の数は、b_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)
なので、
b_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)
=1+2*C(n,1)+3*C(n,2)+…+k*C(n,k-1)+…+n*C(n,n-1)+(n+1)*C(n,n)
=(1+C(n,1)+…+C(n,n))+(C(n,1)+2*C(n,2)+…+n*C(n,n))
=2^n+n*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)
となります。
0〜N^2-1の数字をただ一通りだけN個の要素を持つ２つの集合の和でできる可能性を与
える「A273013」での数値は、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
なので、N=p^n*qの場合、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[b_1^2+(b_1+b_2)^2+(b_2+b_3)^2+…+(b_n+b_(n+1))^2+b_(n+1)^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+1)^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+C(n,0))^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2
+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
ですが、
k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2)
=k*n!/(n-k+1)!/(k-1)!+(k-1)*n!/(n-k+2)!/(k-2)!
=k*(n-k+2)*n!/(n-k+2)!(k-1)!+(k-1)^2*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1)
より、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[1^2+((2*n+1)^2+…+((n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!)^2+…+(n^2+n+1)^2+(n+1)^2)]
=(1/2)*[(n+1)/(n+1)*C(n+1,0)^2+((n*2+1)/(n+1)*C(n+1,1))^2+…+((n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1))^2
+((n*(k+1)+1)/(n+1)*C(n+1,k))^2+…+((n^2+n+1)/(n+1)*C(n+1,n))^2+((n^2+2n+1)/(n+1)*C(n+1,n+1))^2]
となります。
(1+x)^m*(1+x)^(n-m)=(1+x)^n のx^k の係数を比較すると、
C(m,0)*C(n-m,k)+…+C(m,k)*C(n-m,0)=C(n,k)で、n=2m,k=mとすると、
C(m,0)*C(m,m)+…+C(m,m)*C(m,0)=C(m,0)^2+…+C(m,m)^2=C(2m,m)
(d/dx)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(1+x)^(m-1)*(1+x)^(n-m)=m*(1+x)^(n-1) の x^k の係数を
比較すると、
C(m,1)*C(n-m,k)+2*C(m,2)*C(n-m,k-1)+…+k*C(m,k)*C(n-m,1)+(k+1)*C(m,k+1)*C(n-m,0)=m*C(n-1,k)
で、n=2m,k=mとすると、
C(m,1)*C(m,m-1)+2*C(m,2)*C(m,m-2)+…+(m-1)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*C(m,m)*C(m,0)
=C(m,1)^2+…+m*C(m,m)^2=m*C(2*m-1,m-1)=m*C(2m-1,m)=m*(2m-1)!/m!/(m-1)!=(m/2)*C(2m,m)
(d^2/dx^2)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(m-1)(1+x)^(m-2)*(1+x)^(n-m)=m(m-1)*(1+x)^(n-2) の
x^k の係数を比較すると、
2*C(m,2)*C(n-m,k)+3*2*C(m,3)*C(n-m,k-1)+…+(k+1)*k*C(m,k+1)*C(n-m,1)
+(k+2)*(k+1)*C(m,k+2)*C(n-m,0)=m(m-1)*C(n-2,k)
で、n=2m,k=mとすると、
2*C(m,2)*C(m,m-2)+3*2*C(m,3)*C(m,m-3)+…+(m-1)*(m-2)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*(m-1)*C(m,m)*C(m,0)
=2*C(m,2)^2+3*2*C(m,3)^2+…+m*(m-1)*C(m,m)^2
=m(m-1)*C(2m-2,m-2)=m*(m-1)*C(2m-2,m)=m*(m-1)*(2m-2)!/m!/(m-2)!=(m-1)*(2m-2)!/(m-1)!/(m-2)!
=(m-1)^2*C(2*m-2,m-1)
これらを用いると、
(n*(k+1)+1)^2=n^2*k^2+2*n*k+1=n^2*k(k-1)+n(3*n+2)*k+(n+1)^2
より
Σ_(k=0)^(n+1)[1/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n(3n+2)*k/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n^2*k(k-1)/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n^4/(n+1)^2*C(2n,n)
なので、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)[C(2n+2,n+1)+n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)+n^4/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)[((2n+2)(2n+1)+n(3n+2)(2n+1)+n^4)/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)*(n^4+6n^3+11n^2+8n+2)/(n+1)^2*C(2n,n)
=(1/2)*(n^2+4n+2)*C(2n,n)
となります。
以下、工事中！
