34061*42101=1434002161
34061*62171=2117606431
34061*91583=3119408563
の様に、34061の素数はそれぞれ他の異なる３つの５桁の素数のディジットを自分の数字に
全てのみ込んだ積の値を作り出す。
この様な素数を、ブラックホール素数と呼ぼう。
では、５桁の素数全体で、この様に２つの積をとるとき、最も多くの他も素数を呑み込んで
しまう最強のブラックホール素数は何か？
次に、５桁素数どうしの１０桁の積では残念ながらその積は、0から9の数字をすべて含む
ものは存在できない。
そこで、その積の結果に、0から9のすべての数字が出現できるように、５桁と６桁の素数を
掛けて、１１桁の数を作る時、何通りの組合わせがあるか？
らすかるさんからのコメントです。（令和６年８月１０日付け）
問題の解釈とプログラムが正しければ、
一つ目 解釈を間違えていたので計算し直したところ、96401(8個)でした
二つ目 823199通り
kuiperbelt さんからのコメントです。（令和６年８月１０日付け）
ブラックホール素数
96401*18839=1816098439
96401*42743=4120467943
96401*48611=4686149011
96401*58511=5640518911
96401*71993=6940197193
96401*73019=7039104619
96401*87833=8467189033
96401*92801=8946109201
96401の8個が最強でしょうか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年８月１１日付け）
私が思っていた最強ブラックホール素数は、この「96401」でした。
二つ目がらすかるさんと大きく違ってくるのですが、具体例を10個ほど並べて貰えますか？
らすかるさんからのコメントです。（令和６年８月１１日付け）
最初の20個(5桁素数の小さい順そして6桁素数の小さい順)でこんな感じです。
10139*998687=10125687493
10141*999769=10138657429
10151*997793=10128596743
10151*999773=10148695723
10163*999599=10158924637
10169*998423=10152963487
10223*994769=10169523487
10243*990559=10146295837
10243*992809=10169342587
10247*993827=10183745269
10247*999959=10246579873
10253*991499=10165839247
10253*998399=10236584947
10259*990593=10162493587
10259*998681=10245468379
10267*997891=10245346897
10271*987809=10145786239
10271*996881=10238964751
10271*998411=10254679381
10273*994489=10216385497
また、最後の20個はこんな感じです。
99991*841549=84147326059
99991*851549=85147236059
99991*856553=85647591023
99991*860317=86023957147
99991*864427=86434920157
99991*871993=87191452063
99991*872609=87253046519
99991*876529=87645011239
99991*894097=89401653127
99991*928141=92805746731
99991*935537=93545280167
99991*938831=93874650521
99991*942437=94235218067
99991*946327=94624183057
99991*946607=94652180537
99991*950953=95086741423
99991*963497=96341028527
99991*968831=96874380521
99991*971933=97184552603
99991*974591=97450328681
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年８月１１日付け）
10139*998687=10125687493 は、5桁の素数のディジット[0,1,1,3,9]が、7桁の素数7のディ
ジット[6,7,8,8,9,9]を吸い込むと、[0,1,1,3,6,7,8,8,9,9,9]の数字からできる11桁の数字ができる
かとなると、10125687493 なので、確かに0〜9の数字は揃っているがブラックホール的素数
とはなっていないと考えて下さい。
（このあたりの説明が不足していたことをお詫びします。)
これに対し、26849*471503=12659384047 は、5桁の素数のディジット[2,4,6,8,9]が7桁の
素数のディジット[0,1,3,4,5,7]を呑み込んで、0〜9 が揃っていく。
このパターンで探して下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年８月１１日付け）
後半もブラックホール素数とは全く思っておらず、問題文だけで判断してしまっていました。
（タイトルがブラックホール素数だから気づくべきだったかも知れませんね）
で、その条件なら、79通りかと思います。
# 0〜9のうちダブる数字が0,3,6,9だと3の倍数になってNG
# ダブる数字が「1,2,4,5,7,8」ならば、どれでも大丈夫そうですが、なぜかダブる数字が必ず4
なので、何かプログラムに問題があるかもと思って悩んでしまいました。でも、きちんと論理
的に考えると、4 しかあり得ないことがわかり、「79通り」に自信が持てました。
kuiperbelt さんからのコメントです。（令和６年８月１１日付け）
2桁、3桁、4桁で、ブラックホール素数が存在するか調べてみましたが、2桁では存在しませ
んでした。
3桁では、167、281、317、383、443、461、563、701、953、971 の10個がブラックホール素数
でした。
167*701=701*167=117067
281*443=443*281=124483
317*461=461*317=146137
383*971=971*383=371893
563*953=953*563=124483
吸収するのが1個なので、マイクロ・ブラックホールといったところでしょうか。また、167と701、
281と443、317と461、383と971、563と953の5組は互いに対してブラックホール素数なので、ブ
ラックホール連星といったところでしょうか。
4桁では、7793と9923が最強ブラックホール素数で、どちらも吸収するのは3個でした。
7793*4523=35247739
7793*8609=67089937
7793*9923=77329939
9923*4373=43393279
9923*5273=52323979
9923*7793=77329939
7793と9923は互いに対してブラックホール素数なので、ブラックホール連星といったところ
でしょうか。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年８月１１日付け）
で、その条件なら、79通りかと思います。
# 0〜9のうちダブる数字が0,3,6,9だと3の倍数になってNG
# ダブる数字が「1,2,4,5,7,8」ならば、どれでも大丈夫そうですが、なぜかダブる数字が必ず4
なので、何かプログラムに問題があるかもと思って悩んでしまいました。
私も79通りを並べたとき、すべてが4が重複しているパターンなので、なんでこうなるのだろ
うかと不思議でなりませんでした。今でも謎は解けていません。
でも、きちんと論理的に考えると、4 しかあり得ないことがわかり、「79通り」に自信が持てま
した。
これは証明出来るもんですか？
らすかるさんからのコメントです。（令和６年８月１１日付け）
はい、証明できます。
二つの素数が 3n+1 と 3m+1 の場合、桁の数字の和は 3k+2 となります。
一方、積は (3n+1)(3m+1)=3l+1 なので、桁の数字の和と合わず不適です。
二つの素数が 3n+1 と 3m+2 の場合、桁の数字の和が3の倍数となりますが、(3n+1)(3m+2)
は3の倍数になりませんので不適です。
従って、条件が成り立つためには、二つの素数は両方とも 3n+2 型でなければなりません。
3n+2 を 9n+2、9n+5、9n+8 の3つに分けて桁の数字の和と素数の積を考えると、
9n+2 と 9m+2 → 桁の数字の和は 9k+4、積は 9l+4 なので、一致
9n+2 と 9m+5 → 桁の数字の和は 9k+7、積は 9l+1 なので、不一致
9n+2 と 9m+8 → 桁の数字の和は 9k+1、積は 9l+7 なので、不一致
9n+5 と 9m+5 → 桁の数字の和は 9k+1、積は 9l+7 なので、不一致
9n+5 と 9m+8 → 桁の数字の和は 9k+4、積は 9l+4 なので、一致
9n+8 と 9m+8 → 桁の数字の和は 9k+7、積は 9l+1 なので、不一致
のようになり、条件が成り立つとき、桁の数字の和は必ず 9k+4 ですから、重複する数字は
4 しかあり得ないことになります。
最初からこのことがわかっていれば、ブラックホール素数は必ず 3n+2 型なので、調べる素
数を半分に減らせますね。
以下、工事中！
