・ どっちが多い?                  S.H氏

 素数とは、1以外の自然数で、1と自分自身以外約数を持たないものをいう。

素数表によれば、100以下の素数は、

  2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、

 71、73、79、83、89、97

の25個ある。

 これらの素数を、3で割って1余るもの(赤色)と、3で割って2余るもの(青色)に分類する。

  、3、1113171923293137414347535961

 67717379838997

 よって、   3で割って1余るもの(赤色)は、 11個

         3で割って2余るもの(青色)は、 13個

となる。そこで、問題 : 素数のうち、3で割って1余るものと2余るもの、どっちが多い?

 上記の実験結果では常に「3で割って2余るもの」の方が「3で割って1余るもの」よりも数
において先行している。

 従って、「3で割って2余るもの」の方が何となく多いように予想されるが、実は次のことが
知られているようだ。

 608981813029 より小さい任意の数 N において、N 以下の素数において、

     「3で割って2余るもの」の数≧「3で割って1余るもの」の数

であるが、608981813029 以下の素数においては、

     「3で割って2余るもの」の数+1=「3で割って1余るもの」の数

    すなわち、

     「3で割って2余るもの」の数<「3で割って1余るもの」の数


 これは、1978年に、ベイやハドソンにより見いだされた。

 同様に、4で割って1余る数と3余る数についても次の事実が知られている。

 26862 より小さい任意の数 N において、N 以下の素数において、

     「4で割って3余るもの」の数≧「4で割って1余るもの」の数

であるが、26862 以下の素数においては、

     「4で割って3余るもの」の数+1=「4で割って1余るもの」の数

    すなわち、

     「4で割って3余るもの」の数<「4で割って1余るもの」の数


 これは、1959年に、シャンクスにより見いだされた。

(コメント) 結局は、どっちが多い!とは言えないということか...残念。


(参考文献:岡部・白井・一松・和田 著  反例からみた数学 (遊星社))


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