２ｎ個のAと２ｎ個のBと２ｎ個のCから、３ｎ個の文字を選ぶ選び方は何通り？
りらひいさんからのコメントです。（令和６年７月１４日付け）
個数制限なしで、３種類の文字から３ｎ個選ぶ選び方は、
3H3n＝3n+2C2＝(３ｎ＋２)(３ｎ＋１)/２ （通り）
その中で不適なものは、どれか１種類の文字が２ｎ＋１個以上になった場合であり、このと
き残り２種類の文字が２ｎ個を超えることはないので、不適となる選び方の数は、
３{Σk=2n+1〜3n 2H3n-k}＝３{Σk=2n+1〜3n 3n-k+1C1}＝３{Σk=2n+1〜3n (３ｎ−ｋ＋１)}
＝３{Σm=1〜n (ｎ−ｍ＋１)}＝３{Σm=1〜n (ｎ＋１)−Σm=1〜n ｍ}＝３{(ｎ＋１)ｎ−ｎ(ｎ＋１)/２}
＝３ｎ(ｎ＋１)/２ （通り）
よって、求める選び方の総数は、
(３ｎ＋２)(３ｎ＋１)/２−３ｎ(ｎ＋１)/２＝３ｎ2＋３ｎ＋１ （通り）
（コメント） ２個のAと２個のBと２個のCから、３個の文字を選ぶ選び方は、
AAB、AAC、ABB、ABC、ACC、BBC、BCC の７通り
りらひいさんの結果で、ｎ＝１を代入すると、７通りとなり、一致する。
DD++ さんからのコメントです。（令和６年７月１４日付け）
A の個数で場合分けして、
Ａ：２ｎ個のとき、Ｂ＋Ｃ＝ｎ から、解は、ｎ＋１通り
Ａ：２ｎ−１個のとき、Ｂ＋Ｃ＝ｎ＋１ から、解は、ｎ＋２通り
・・・・・・・・・・・・
Ａ：ｎ＋１個のとき、Ｂ＋Ｃ＝２ｎ−１ から、解は、２ｎ通り
Ａ：ｎ個のとき、Ｂ＋Ｃ＝２ｎ から、解は、２ｎ＋１通り
Ａ：ｎ−１個のとき、Ｂ＋Ｃ＝２ｎ＋１ から、解は、２ｎ通り
・・・・・・・・・・・・
Ａ：１個のとき、Ｂ＋Ｃ＝３ｎ−１ から、解は、ｎ＋２通り
Ａ：０個のとき、Ｂ＋Ｃ＝３ｎ から、解は、ｎ＋１通り
よって、
(n+1) + (n+2) + (n+3) + …… + 2n + (2n+1) + 2n + …… + (n+2) + (n+1)
＝(1/2)*n*(3n+1)*2 + (2n+1)
＝3n^2 + 3n + 1 （通り）
２色で同様のことをすると、２ｎ＋１ 通りになるということは、これを (n+1)^3 - n^3 という式
から導きたいという主旨でしたかね？
４色の場合： (16/3)n^3 + 8n^2 + (14/3)n + 1 通りっぽいので、３色まで (n+1)^k - n^k に一
致したのはただの偶然だったようです……ちょっと残念。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年７月１４日付け）
４色の場合： (16/3)n^3 + 8n^2 + (14/3)n + 1 通り
ｎ＝１ なら、19ですよね。A,A,B,B,C,C,D,D から３つを選ぶ方法は
[A,A,B],[A,A,C].[A,A,D] 同様に、[B,B,*],[C,C,*],[D,D,*]型で、１２通り
後は、4C3＝４（通り）で、計１６通りしか作れないんではないかと思われるんですが、後３通
りは何ですか？
（コメント） 確かに、A,A,B,B,C,C,D,D から３つを選ぶ方法は、１６通りしかないですね。
DD++ さんからのコメントです。（令和６年７月１５日付け）
元の問題の「６ｎ個から３ｎ個取る」を「ちょうど半分取る」と解釈して、４色の場合は「８ｎ個
から４ｎ個取る」で考えています。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年７月１５日付け）
４色の場合は、 (23/6)n^3+7n^2+(25/6)n+1 でしょうか。
一般に、ｋ色のとき、
kH3n−kHn-1・ｋ＝3n+k-1Ck-1−n+k-2Ck-1・ｋ
となり、
2色: n+1
3色: 3n^2+3n+1
4色: (23/6)n^3+7n^2+(25/6)n+1
5色: (19/6)n^4+10n^3+(65/6)n^2+5n+1
・・・
のようになると思います。
（コメント） 「重複組合せ」が参考になるかな？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年７月１５日付け）
皆さんが発見された結果を使って、次の事が成立することを６色まで確認できました。
確認はしていませんが、以下同様な言い換えで探せるものと思われます。
３色では、
−ｎ≦a、b、c≦ｎ で、a＋b＋c＝０ を満たす(a，b，c)の個数を求めることに同じ。
４色では、
−ｎ≦a、b、c、d≦ｎ で、a＋b＋c＋d＝ｎ を満たす(a，b，c，d)の個数を求めることに同じ。
５色では、
−ｎ≦a、b、c、d、e≦ｎ で、a＋b＋c＋d＋e＝２ｎ を満たす(a，b，c，d，e)の個数を求めるこ
とに同じ。
６色では、
−ｎ≦a、b、c、d、e、f≦ｎ で、a＋b＋c＋d＋e＋f＝３ｎ を満たす(a，b，c，d，e，f)の個数を
求めることに同じ。
（コメント） −１≦a、b、c≦１ で、a＋b＋c＝０ を満たす(a，b，c)の個数は、
(−１，０，１)、(−１，１，０)、(０，−１，１)、(０，０，０)、(０，１，−１)、(１，−１，０)、(１，０，−１)
の７通り ・・・ なるほど！
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年７月１５日付け）
元の問題の「６ｎ個から３ｎ個取る」を「ちょうど半分取る」と解釈して、４色の場合は「８ｎ個
から４ｎ個取る」で考えています。
なるほど、DD++ さんの解釈でいくと、４色では、ｎ＝１、２、３、・・・ で、
19,85,231,489,･･･,(2*n+1)*(8*n^2+8*n+3)/3
５色では、
51,381,1451,3951,･･･,1 + 5*n*(n+1)*(23*n^2 + 23*n + 14)/12
となるわけですね。
この場合だと、４色では、
−ｎ≦a、b、c、d≦ｎ で、a＋b＋c＋d＝０ を満たす(a，b，c，d)の組の個数
５色では、
−ｎ≦a、b、c、d、e≦ｎ で、a＋b＋c＋d＋e＝０ を満たす(a，b，c，d，e)の組の個数
と同等となる模様です。
以下、工事中！
