三角比の学習では、その考え方の日常性から正接の概念から学び始め、その後、正弦
や余弦などを学び、測量の問題へと発展させていくのが王道である。ただ、概念の出発点
にもかかわらず、大学入試問題で正接が問われることは少ないように感じる。

　このページでは、正接の種々の問題をまとめていこうと思う。

　次の東北大学 理・工（１９７９）の問題について、まず考察していこう。正接っぽい風情を
醸し出しているが、実質は、式の値の計算である。

第５問　　Ｆ（ｘ）＝ｔａｎ ｘ　とする。

Ｆ（α）＋Ｆ（β）＋Ｆ（γ）＝０、Ｆ’（α）＋Ｆ’（β）＋Ｆ’（γ）＝９、Ｆ”（α）＋Ｆ”（β）＋Ｆ”（γ）＝０

を満たすα、β、γを求めよ。ただし、−π/２＜α＜β＜γ＜π/２　とする。

（解）　Ｆ（α）＋Ｆ（β）＋Ｆ（γ）＝０　より、　ｔａｎ α＋ｔａｎ β＋ｔａｎ γ＝０

そこで、ｔａｎ α＝ａ　、ｔａｎ β＝ｂ　、ｔａｎ γ＝ｃ　とおくと、　ａ＋ｂ＋ｃ＝０　である。

また、Ｆ’（ｘ）＝１/ｃｏｓ² ｘ ＝１＋ｔａｎ² ｘ　より、

　１＋ｔａｎ² α＋１＋ｔａｎ² β＋１＋ｔａｎ² γ＝９　なので、　ｔａｎ² α＋ｔａｎ² β＋ｔａｎ² γ＝６

　よって、　ａ²＋ｂ²＋ｃ²＝６　である。

このとき、　ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝（１/２）（（ａ＋ｂ＋ｃ）²−（ａ²＋ｂ²＋ｃ²））＝−３

また、　Ｆ”（ｘ）＝２ｔａｎ ｘ （１＋ｔａｎ² ｘ）＝２ｔａｎ ｘ ＋２ｔａｎ³ ｘ　より、

　２ｔａｎ α ＋２ｔａｎ³ α ＋２ｔａｎ β ＋２ｔａｎ³ β ＋２ｔａｎ γ ＋２ｔａｎ³ γ ＝０

すなわち、　ｔａｎ³ α ＋ｔａｎ³ β ＋ｔａｎ³ γ ＝０　より、　ａ³＋ｂ³＋ｃ³＝０　である。

このとき、　ａ³＋ｂ³＋ｃ³−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ²＋ｂ²＋ｃ²−（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ））＝０　より、

　ａｂｃ＝０　である。

　以上から、ａ、ｂ、ｃ は、３次方程式 ｔ³−３ｔ＝０　の３つの解である。

　ｔ＝０　、±　と　−π/２＜α＜β＜γ＜π/２　から、

　ｔａｎ α＝−　、ｔａｎ β＝０　、ｔａｎ γ＝　となる。

よって、　α＝−π/３　、β＝０　、γ＝π/３　　（終）



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