二項係数の _2nC_n と _2nC_n/4^n の分子部分がとても面白い関係性が成立していることが
わかりました。

　それが、_2nC_n の整数を素因数分解で、

　2^r₀*p₁^r₁*p₂^r₂*p₃^r₃･･･　(p₁、p₂、p₃、･･･　は、2以外の奇素数)

となっているとき、_2nC_n/4^n のの分子部分は、

　p₁^r₁*p₂^r₂*p₃^r₃･･･

と、すっかり上の素因数 2^r₀ の部分が抜け落ちたものが現れることになる。

　しかも、2 での指数 r₀ は、ｎを 2 進法で表した時の 1 の使用回数(=hammingweight(n))が
対応している。

(確認)　{_2nC_n/4^n} の数列の様子：

gp > for(n=1,20,print1(binomial(2*n,n)/4^n","))
1/2,3/8,5/16,35/128,63/256,231/1024,429/2048,6435/32768,12155/65536,46189/262144,
88179/524288,676039/4194304,1300075/8388608,5014575/33554432,9694845/67108864,
300540195/2147483648,583401555/4294967296,2268783825/17179869184,
4418157975/34359738368,34461632205/274877906944,

　したがって、その分子部分は、

1,3,5,35,63,231,429,6435,12155,46189,88179,676039,1300075,5014575,9694845,300540195,
583401555,2268783825,4418157975,34461632205,

　そこで、_2nC_n の値から 2^r₀ ＝2^hammingweight(n)を取り除く操作で、_2nC_n の値(バイナ
リー表示を右にhammingweight(n)だけシフトさせる)

gp > for(n=1,20,print1(binomial(2*n,n)>>hammingweight(n)","))
1,3,5,35,63,231,429,6435,12155,46189,88179,676039,1300075,5014575,9694845,300540195,
583401555,2268783825,4418157975,34461632205,

ことで一致させられることになる。

　更に驚いたことは、この数字が、1/√(1-x) のテイラー展開式

gp > taylor(1/sqrt(1-x),x)
%84 = 1 + 1/2*x + 3/8*x^2 + 5/16*x^3 + 35/128*x^4 + 63/256*x^5 + 231/1024*x^6
+ 429/2048*x^7 + 6435/32768*x^8 + 12155/65536*x^9 + 46189/262144*x^10
+ 88179/524288*x^11 + 676039/4194304*x^12 + 1300075/8388608*x^13
+ 5014575/33554432*x^14 + 9694845/67108864*x^15 + 300540195/2147483648*x^16
+ 583401555/4294967296*x^17 + 2268783825/17179869184*x^18
+ 4418157975/34359738368*x^19 + 34461632205/274877906944*x^20 + O(x^21)

での各係数の分子に出現してしまうという、思ってもいない繋がりを持つことでした。



　　以下、工事中！