Central binomial coefficients: binomial(2*n,n) = (2*n)!/(n!)^2
が、とても円周率πと密接な関係を保持していることが起こっていることになっている模様です。
次の無限級数が起こりそうです。
2^2/(1*2C1)+2^3/(2*4C2)+2^4/(3*6C3)+･･･+2^(n+1)/(n*2nCn)+･･･=π
これを具体的な数値で示すと、
2+2/3+4/15+4/35+16/315+16/693+32/3003+32/6435+256/109395+256/230945+･･･=π
が計算上成り立つようです。また、少し形を変えて、
2^4/(1*2C1^2),2^8/(2*4C2^2),2^12/(3*6C3^2),･･･,2^(4n)/(n*2nCn^2),･･･
の一般項は、n->oo では、 lim[n->oo]2^(4n)/(n*2nCn^2)=π で成立の模様。
普通πとは、
1-1/3+1/5-1/7+1/9-･･･=π/4
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+･･･=π^2/6
等で顏を表すことでしか親しんでいなかったので、新鮮な感覚に包まれました。
更に、定積分とも繋がれて
π*2nCn=∫[x=-1->1](2*x)^(2n)/√(1-x^2)dx
も起こりそうです。
以下、工事中！
