2、3、5、7、11、13、17 の７個の素数を辞書式に並べ直すと、11、13、17、2、3、5、7 とな
るので、これを改めて、

　p₁＝11　、p₂＝13　、p₃＝17　、p₄＝2　、p₅＝3　、p₆＝5　、p₇＝7

と番号を振り付けると、全部で７個の素数では、p₇＝7　なる現象が発生する。

　そこで、素数２から始め、素数を全部で ｋ 個集め、それを辞書式順序にして番号を振り
付け、p₁　、p₂　、･････、p_k　とした時、p_k＝ｋ　なることが起こるｋを、あと２つほど発見して
ほしい。


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年６月１日付け）

　「あと２つ」が、「97」と「997」で正しければ、その次は、「999…(9が139個)…9997」、つまり
10^140-3 かな？（もしかしたら、それより小さいものがあるかも）


（コメント）　「素数表」を参照して、辞書式順序で、２から５０９までの素数を並べみた。

　確かに、９７番目が「９７」になっていますね！


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年６月１日付け）

　この３つを探した後はもう諦めていました。どうして、第４のとんでもないものを見つけられ
たのか？？？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年６月２日付け）

　もしかして、99999999999999997(=10^17-3)　もいいのでしょうか？
　999･･･････････････9997(=10^990-3)　もありですか？


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年６月２日付け）

　99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか？

　それはNGです。

　99999999999999997 番目の素数は、4185296581467695521 であり、これ以下の素数で
999999999999999989　がありますので、99999999999999997　は、最後になりません。

　999…(9が139個)…9997 (140桁) の場合は、

999…(9が139個)…9997 番目の素数は、32*********************** (143桁) という数で
あり、

999…(9が139個)…999 7x (141桁)
999…(9が139個)…999 8x (141桁)
999…(9が139個)…999 9x (141桁)
999…(9が139個)…999 7xx (142桁)
999…(9が139個)…999 8xx (142桁)
999…(9が139個)…999 9xx (142桁)

がすべて合成数であることが確認できたため、999…(9が139個)…9997 は最後になり、条件
を満たしています。

　999･･･････････････9997(=10^990-3)の場合は、999･･･････････････9997番目の素数が
約2.29×10^993であるため、

999･･･････････････9997x
999･･･････････････9998x
999･･･････････････9999x
999･･･････････････9997xx
999･･･････････････9998xx
999･･･････････････9999xx
999･･･････････････9997xxx
999･･･････････････9998xxx
999･･･････････････9999xxx

がすべて合成数であることが確認できればOKになりますが、対象が結構多いので、素数が
含まれているのではないかという気がします。

　「もしかしたら、より小さいのがあるかも」というのは、999･･････････991　などで、条件を満
たすものがもしあれば、という意味ですが、末尾が1であるため、確率的に低いと思い、未調
査です。

　これだけなら調査することはできますが、n桁の最後が
999･･････････989 とか、999･･････････983 とか、999･･････････979 のような場合など考える
と大変そうなので、調査はやめました。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年６月３日付け）

gp > for(i=70,99,if(isprime(10^2*(10^989-1)+i)==1,print1(10^2*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=700,999,if(isprime(10^3*(10^989-1)+i)==1,print1(10^3*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=7000,9999,if(isprime(10^4*(10^989-1)+i)==1,print1(10^4*(10^989-1)+i",")))

に対し、何の反応も起きなかった。一応、下の989桁のものでもちゃんと素数と判定してくれ
る。

gp > isprime(10^990-3)
%53 = 1

即ち、10^990-3番目に出現する素数(994桁の2が頭にある素数)より前にある素数で、
10^990-3より大きな素数は一個も存在しないと判定され、結局辞書式順序の最後に並ぶ。

　よって、求める k の値として、10^140-3 の次に 10^990-3 も認められる。

　この判定でいいのでしょうか？

なお、危なく次の素数が出現するも、10^990-3 より前に辞書式順序では位置してくれるよう
です。

999･･･(9が989個)･･･999199
999･･･(9が989個)･･･999329
999･･･(9が989個)･･･9993893


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年６月３日付け）

　そうですね、10^17-3で試すとちゃんと素数が表示されますので、問題ないと思います。



　　以下、工事中！