重積分で、求めてみました。

（コメント）　３次元球 ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝ｒ²　の体積を計算してみよう。

　平面 ｚ＝ｔ　で切断した断面積は、　π（ｒ²−ｔ²） なので、求める体積は、

　∫_-r^r π（ｒ²−ｔ²）ｄｔ＝２π∫₀^r π（ｒ²−ｔ²）ｄｔ＝２π[ｒ²ｔ−ｔ³/３]₀^r＝（４/３）πｒ³

　同様に、４次元球 ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＋ｗ²＝ｒ²　の体積を計算してみよう。

　ｎ次元球の体積は、（半径）ⁿ に比例するので、平面 ｗ＝ｔ　で切断した断面積は、

　（４/３）π（√（ｒ²−ｔ²））³ となる。

よって、求める体積は、

　∫_-r^r （４/３）π（√（ｒ²−ｔ²））³ｄｔ＝（８/３）π∫₀^r （√（ｒ²−ｔ²））³ｄｔ

ここで、　ｔ＝ｒｓｉｎθ　とおくと、　ｄｔ＝ｒｃｏｓθｄθ　から、

　（８/３）π∫₀^r （√（ｒ²−ｔ²））³ｄｔ＝（８/３）πｒ⁴∫₀^π/2 cos⁴θｄθ

部分積分の公式から、

∫₀^π/2 cos⁴θｄθ＝[ｓｉｎθｃｏｓ³θ]₀^π/2＋３∫₀^π/2 ｓｉｎ²θcos²θｄθ

＝（３/４）∫₀^π/2 ｓｉｎ²２θ＝（３/８）∫₀^π/2 （１−ｃｏｓ４θ）ｄθ

＝（３/８）[θ−（１/４）ｓｉｎ４θ]₀^π/2＝（３/１６）π

なので、求める体積は、　（８/３）πｒ⁴・（３/１６）π＝（１/２）π²ｒ⁴　となる。



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