らすかるさんからのコメントです。（令和６年５月６日付け）
０＜a≦b≦c≦d として、
(a,b,c,d)＝(1,1,2,12)、(1,2,8,9)、(1,6,7,8)、(2,3,4,11)、(2,4,7,9)、(3,4,5,10)、(4,6,7,7)、(5,5,6,8)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年５月７日付け）
整数の制限が付いてないので、他にも
(14/5,33/5,47/5,16/5)、(33/13,79/13,112/13,74/13)、(56/25,137/25,193/25,186/25)
(41/21,103/21,48/7,26/3)、(48/23,119/23,238/23,79/23)、(109/57,275/57,550/57,104/19)
(12/7,31/7,62/7,7)、(52/33,137/33,359/33,38/11)、(115/79,309/79,812/79,410/79)
(6/5,17/5,56/5,17/5)、(31/17,127/17,158/17,36/17)、(53/31,221/31,274/31,132/31)
(39/25,167/25,206/25,148/25)、(101/71,445/71,718/71,180/71)、(4/3,6,29/3,13/3)
(21/19,101/19,202/19,52/19)、(16/13,103/13,119/13,18/13)、(107/91,701/91,808/91,42/13)
(50/51,353/51,168/17,95/51)、(31/37,303/37,334/37,32/37)、(119/27,64/9,238/27,41/27)
(55/13,89/13,110/13,48/13)、(155/39,84/13,310/39,211/39)、(137/37,224/37,361/37,78/37)
(103/29,169/29,272/29,114/29)、(153/49,254/49,508/49,17/7)、(271/81,623/81,718/81,28/27)
(153/47,353/47,406/47,136/47)、(101/35,237/35,338/35,8/5)、(149/57,458/57,168/19,37/57)
(224/43,313/43,359/43,18/43)、(169/33,709/99,812/99,226/99)、(254/55,357/55,508/55,61/55)
(505/119,921/119,1010/119,4/17)、(17/3,22/3,8,1/3)、･････････････
などなど無数にありそう。
（コメント） 整数の枠を外せば、解は無限にありそうですね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年５月７日付け）
他に、各数値に√記号を付けて、
(3,5,11,131)、(3,5,29,113)、(3,5,41,101)、(3,5,53,89)、(3,5,59,83)、(3,7,13,127)、(3,7,31,109)
(3,7,37,103)、(3,7,43,97)、(3,7,61,79)、(3,7,67,73)、(3,11,23,113)、(3,11,29,107)、(3,11,47,89)
(3,11,53,83)、(3,13,31,103)、(3,13,37,97)、(3,13,61,73)、(3,17,23,107)、(3,17,29,101)、(3,17,41,89)
(3,17,47,83)、(3,17,59,71)、(3,19,31,97)、(3,19,61,67)、(3,23,41,83)、(3,23,53,71)、(3,29,47,71)
(3,31,37,79)、(3,31,43,73)、(3,37,43,67)、(3,41,47,59)、(5,7,11,127)、(5,7,29,109)、(5,7,31,107)
(5,7,37,101)、(5,7,41,97)、(5,7,59,79)、(5,7,67,71)、(5,11,31,103)、(5,11,37,97)、(5,11,61,73)
(5,13,19,113)、(5,13,23,109)、(5,13,29,103)、(5,13,31,101)、(5,13,43,89)、(5,13,53,79)、(5,13,59,73)
(5,13,61,71)、(5,17,19,109)、(5,17,31,97)、(5,17,61,67)、(5,19,23,103)、(5,19,29,97)、(5,19,37,89)
(5,19,43,83)、(5,19,47,79)、(5,19,53,73)、(5,19,59,67)、(5,23,43,79)、(5,29,37,79)、(5,29,43,73)
(5,31,41,73)、(5,31,43,71)、(5,31,47,67)、(5,31,53,61)、(5,37,41,67)、(5,37,47,61)、(5,41,43,61)
(7,11,19,113)、(7,11,23,109)、(7,11,29,103)、(7,11,31,101)、(7,11,43,89)、(7,11,53,79)、(7,11,59,73)
(7,11,61,71)、(7,13,17,113)、(7,13,23,107)、(7,13,29,101)、(7,13,41,89)、(7,13,47,83)、(7,13,59,71)
(7,17,19,107)、(7,17,23,103)、(7,17,29,97)、(7,17,37,89)、(7,17,43,83)、(7,17,47,79)、(7,17,53,73)
(7,17,59,67)、(7,19,23,101)、(7,19,41,83)、(7,19,53,71)、(7,23,31,89)、(7,23,37,83)、(7,23,41,79)
(7,23,47,73)、(7,23,53,67)、(7,23,59,61)、(7,29,31,83)、(7,29,41,73)、(7,29,43,71)、(7,29,47,67)
(7,29,53,61)、(7,31,41,71)、(7,31,53,59)、(7,37,47,59)、(7,41,43,59)、(7,43,47,53)、(11,13,17,109)
(11,13,19,107)、(11,13,23,103)、(11,13,29,97)、(11,13,37,89)、(11,13,43,83)、(11,13,47,79)
(11,13,53,73)、(11,13,59,67)、(11,17,19,103)、(11,17,43,79)、(11,19,23,97)、(11,19,31,89)
(11,19,37,83)、(11,19,41,79)、(11,19,47,73)、(11,19,53,67)、(11,19,59,61)、(11,23,37,79)
(11,23,43,73)、(11,29,31,79)、(11,29,37,73)、(11,29,43,67)、(11,31,37,71)、(11,31,41,67)
(11,31,47,61)、(11,37,41,61)、(11,37,43,59)、(13,17,19,101)、(13,17,23,97)、(13,17,31,89)
(13,17,37,83)、(13,17,41,79)、(13,17,47,73)、(13,17,53,67)、(13,17,59,61)、(13,19,29,89)
(13,19,47,71)、(13,23,31,83)、(13,23,41,73)、(13,23,43,71)、(13,23,47,67)、(13,23,53,61)
(13,29,37,71)、(13,29,41,67)、(13,29,47,61)、(13,31,47,59)、(13,37,41,59)、(13,37,47,53)
(13,41,43,53)、(17,19,31,83)、(17,19,41,73)、(17,19,43,71)、(17,19,47,67)、(17,19,53,61)
(17,23,31,79)、(17,23,37,73)、(17,23,43,67)、(17,29,31,73)、(17,29,37,67)、(17,29,43,61)
(17,31,41,61)、(17,31,43,59)、(17,37,43,53)、(19,23,29,79)、(19,23,37,71)、(19,23,41,67)
(19,23,47,61)、(19,29,31,71)、(19,29,41,61)、(19,29,43,59)、(19,31,41,59)、(19,31,47,53)
(19,37,41,53)、(19,41,43,47)、(23,29,31,67)、(23,29,37,61)、(23,31,37,59)、(23,31,43,53)
(23,37,43,47)、(29,31,37,53)、(29,31,43,47)、(29,37,41,43)、･･････････
更に、i を虚数単位とし
(-10+i,-9+5*i,-5+7*i,10+9*i)、(-10+3*i,-9+4*i,2+5*i,8+7*i)、(-10+6*i,-8+7*i,-6+10*i,16+11*i)
(-9+2*i,-8+4*i,-5+6*i,10+8*i)、(-8+i,-6+2*i,-4+3*i,8+4*i)、(-8+3*i,-6+5*i,-5+6*i,12+7*i)
･･･････････
などなど無数にありそう。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年５月８日付け）
実数範囲の一般解は、p、q、r を任意の正の実数として、
(a,b,c,d)=(±√{150/(1+p+q+r)},±√{150p/(1+p+q+r)},±√{150q/(1+p+q+r)},±√{150r/(1+p+q+r)})
複素数範囲の一般解は、p、q、r を任意の複素数（ただし、pqr≠0 かつ p^2+q^2+r^2≠150）
として、
(a,b,c,d)=(p,q,r,±√(150-p^2-q^2-r^2))
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年５月９日付け）
上手く纏められますね〜。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和６年５月１２日付け）
最大数に着目して、
７＾2＋７＾2＋６＾2＋４＾2
８＾2＋６＾2＋５＾2＋５＾2
９＾2＋７＾2＋４＾2＋２＾2
１０＾2＋５＾2＋４＾2＋３＾2
１１＾2＋４＾2＋３＾2＋２＾2
１２＾2＋２＾2＋１＾2＋１＾2
１３＾2＋（３i）^2＋（３i）＾2＋i^2
１４^2＋(６i)^2＋(３i)^2＋i^2
複素数には大小関係はありませんが。
そもそも、２（１，２，３，４）＋（４，１，２，−３）＝（６，５，８，５） と
２（１，２，３，４）＋（２，３，−４，１）＝（４，７，２，９） について、２乗和が１５０になりました。
１，２，３，４の並べ替えと、符号を適当につけると、４乗和も等しくできますが、６乗和は難
しいみたいです。
（a,b,c,d) の２，４，６乗和まで等しいのが見つかると、（-a,-b,-c,-d,a,b,c,d) が、８個の累乗
和が見つかる作戦です。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和６年５月１６日付け）
2(1,2,3,4)+(a,b,c,d)
但し、a、b、c、d は、順序関係なく 1、2、3、4 に符号をつけたものです。
2(1,2,3,4)+(-4,-1,2,-3)=(-2,3,8,5) 、2(1,2,3,4)+(-2,3,-4,-1)=(0,7,2,7)
の２組は、二乗和、四乗和が等しくなります。上の形式で、二乗和、四乗和、六乗和まで、
等しくなる２組は存在するでしょうか？
ＧＡＩ さんから問題をいただきました。（令和６年５月１０日付け）
４つの異なる分母をもつ有理数P、Q、R、Sが、P^2＋Q^2＋R^2＋S^2＝７７７７ を満たす
という。(P,Q,R,S)の組合せを見つけてほしい。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年５月１０日付け）
何とか手作業で見つけました。
(236/7777)^2＋(37/707)^2＋(8/77)^2＋(97976/1111)^2＝7777
a^2＋b^2＋c^2＋d^2＝7777^3 となるa,b,c,dの組み合わせで
7777 で割って約分したときに全部分母が異なるものを探しました。
（コメント） ７７７７＝７・１１・１０１ に注意して、探そうとしましたが、あえなく挫折！
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年５月１１日付け）
手作業で見つけました。
これが凄いですね。
確かに、分母が[77,707,1111,7777]で分子を上記の数値で分数を作っておくと、7777がつく
れる。
私も何とかコンピュータの力をお借りして、分母が[3,15,25,75]で固定して置いて、分子を
色々動かしてみると、
(100/3)^2+(454/15)^2+(974/25)^2+(4879/75)^2
(100/3)^2+(461/15)^2+(994/25)^2+(4826/75)^2
(100/3)^2+(464/15)^2+(967/25)^2+(4868/75)^2
(100/3)^2+(496/15)^2+(997/25)^2+(4738/75)^2
(100/3)^2+(508/15)^2+(913/25)^2+(4852/75)^2
･････････････････････
と、周辺にいくつも条件を満たす集団が発見できました。
同じく分母を[3,21,35,105]で固定したら、
(140/3)^2+(1301/21)^2+(1464/35)^2+(356/105)^2
(140/3)^2+(1306/21)^2+(1418/35)^2+(997/105)^2
(140/3)^2+(1318/21)^2+(1417/35)^2+(482/105)^2
(140/3)^2+(1325/21)^2+(1404/35)^2+(316/105)^2
(140/3)^2+(1363/21)^2+(1276/35)^2+(796/105)^2
･････････････････
[7,15,21,105]の分母では、
(404/7)^2+(653/15)^2+(898/21)^2+(2822/105)^2
(404/7)^2+(692/15)^2+(844/21)^2+(2783/105)^2
(405/7)^2+(676/15)^2+(866/21)^2+(2774/105)^2
(405/7)^2+(716/15)^2+(806/21)^2+(2734/105)^2
(409/7)^2+(692/15)^2+(832/21)^2+(2708/105)^2
･･････････････
が浮かび上がってきます。
整数だけに限定すると有限個でおさまるところ、有理数へ探索を拡張すると、世界が全く異
なってくる感覚になります。しかも、探す苦労は一筋縄ではいかなくなる。
任意の整数Nを４つの有理数の平方和で作るアルゴリズムは有りや無しや？
らすかるさんからのコメントです。（令和６年５月１１日付け）
「最も簡単な式」、すなわち、分子分母に登場する自然数の最大値が最も小さいものは、
(173/2)^2+(161/10)^2+(155/26)^2+(1/130)^2=7777 （最大値173）
でした。最大値が173になる式は全部で５つあり、173を除いた数の最大値（この式では161）
が最も小さくなるのがこの式です。
（172以下の自然数では、7777は作れないということになります。）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年５月１２日付け）
最大値が173になる式は全部で5つあり
(173/2)^2+(161/10)^2+(155/26)^2+(1/130)^2
(173/2)^2+(167/10)^2+(103/26)^2+(53/130)^2
(173/2)^2+(169/10)^2+(77/26)^2+(79/130)^2
(173/2)^2+(171/10)^2+(33/26)^2+(111/130)^2
以外何があるのですか？
らすかるさんからのコメントです。（令和６年５月１２日付け）
あと一つは、
(173/2)^2+(167/10)^2+(133/34)^2+(127/170)^2
です。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年５月１４日付け）
(173/2)^2+(167/10)^2+(133/34)^2+(127/170)^2
を探し出すためには、他にも前３つの最小公倍数が173を越えない組合せ(1541通り)が山ほ
ど考えられるので、それから見つけ出すって凄くないですか？
らすかるさんからのコメントです。（令和６年５月１４日付け）
(173/3)^2+(173/4)^2+(173/5)^2+(173/6)^2＜7777 から、一つ目の分母は「2」に固定でき
ますので、探索する組み合わせは減らせると思います。同様に、
(173/2)^2+(173/17)^2+(173/18)^2+(173/19)^2＜7777から、二つ目の分母は3〜16（一つ目
の分子が小さければさらに絞られます）に限られるなど、常に「この値（以上）にした場合に、
合計が7777になる可能性がなければパス」という処理を入れて短縮すれば、実行時間が結
構短くなるのではないかと思います。
※一つ目の「2のみ」もそういう固定値にしているわけではなく、「3にした場合に残りが最大と
して7777に達するか」を計算しています。
(補足) 上記のチェックは巨大整数演算や分数演算では多分遅いので、最大値をdoubleで計
算して、7776.9より小さければパス、としています。
以下、工事中！
