f(X)＝a_0＋a_1X＋・・・＋a_nX^n は整数係数の範囲で因数分解できますか？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１月２１日付け）
次数が１以上の整数係数の多項式として、Ｐ(ｘ)、Ｑ(ｘ)、Ｒ(ｘ) が与えられていて、
Ｐ(ｘ) = Q(x)*R(x) を満たしているものとします。また、Ｐ(ｘ) の全ての係数は、0 から 9 までの
整数とします。
「Ｐ(１０) が素数となることはありますか？」という課題を意図されているのでしょうか？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１月２４日付け）
P(X) = a_n*X^n +・・・+a_1*X^1 +a_0
Q(X) = b_k*X^k +・・・+b_1*X^1 +b_0
R(X) = c_m*X^m +・・・+c_1*X^1 +c_0
において、 n = k +m 、k＞0 、m＞0 、P(X) = Q(X)*R(X) とします。
また、P(X)、Q(X)、R(X) の全ての係数は整数とします。かつ、P(X) の全ての係数は 0 から
9 までの整数とします。 ただし、a_n、b_k、c_m は 0 にはならず、全て正とします。
p = P(10) が素数となるかどうかについて検討します。
準備①
Q(X)、R(X) の全ての係数について、その絶対値は 9 以下です。
なんとなれば、これらの係数のうちひとつでも 10 以上であれば、P(X)の係数のうち少なくとも
ひとつについて、その絶対値が 10 を超えてしまうからです。これは条件にあいません。
以下、背理法を使います。
すなわち、p が素数と仮定すると、矛盾することを示したいと思います。
さて p が素数なので、P(10) = Q(10)*R(10) は素数です。
一般性を失うことなく、R(10)を 1 とできます。すなわち、r(X) を多項式として
r(10) = 0 、R(X) = r(X) +1
と定義することとなります。
P(X) = Q(X)*R(X) = Q(X)*(r(X) +1) となりますが、P(10) = Q(10) とも言えます。
ところで、あらかじめ準備しておいたように、
Q(X) の全ての係数について、その絶対値は 9 以下です。
しかも、P(X) の次数よりも、Q(X) の次数のほうが小さいことは定義より明らかです。
これらのことから、P(10) の桁数は、Q(10)の桁数よりも大であるはずです。
しかしながら、さきにみたように、一方において、P(10) = Q(10) なので、矛盾します。
背理法により、仮定していたところの「p = P(10) が素数である」は偽であるとわかりました。
＃以上、なんだか気持ち悪くスジワルなのですが、間違っている点あるいはこうしたほうが
もっとスッキリするといった御批正を頂きたく存じます。よろしくお願いいたします。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年１月２４日付け）
Q(X)、R(X) の全ての係数について、その絶対値は 9 以下です。
なんとなれば、これらの係数のうちひとつでも 10 以上であれば、P(X)の係数のうち少なくとも
ひとつについて、その絶対値が 10 を超えてしまうからです。これは条件にあいません。
これは言えないのでは？例えば、
(x^2-x+1)(2x^2+10x+9)=2x^4+8x^3+x^2+x+9
のような例があります。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１月２４日付け）
らすかるさん、ご指摘を有難うございます。ううむ．．．。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１月２５日付け）
自力で証明することはあきらめました。「Cohn's irreducibility criterion」の特殊な場合なの
ですね。Arthur Cohn の既約判定法？
OEIS に関連するかもしれない数列「A253280」があります。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年１月２５日付け）
とりあえず p≦10億 の素数について調べましたが、すべて既約でした。よって、成り立ち
そうではあります。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年１月２５日付け）
こちらに詳しい記載があるようです。
以下、工事中！
