(1)∫[0→3]floor(x^2)dx
(2)∫[0→3]ceil(x^2+floor(x))dx
(3)∫[1/π→1/2]log(floor(1/x))dx
(4)∫[e^√π→√π^e^2]floor(x)dx
（コメント） WolframAlpha 先生にご支援いただきました。
（１） ２１－３
－
－
－
－
（２） ２７－３
－－－－（３） （１/６）ｌｏｇ１８－（１/π）ｌｏｇ３
（４） －２３３１－５ｅ＾（√π）＋６８π＾（ｅ2/２）
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年１２月１２日付け）
最近、こんなのを見かけまして目を丸くしていた次第です。
∫[0→1](1/x -floor(1/x))dx = 1 -γ （γは、Euler の定数）
x=0 の付近で激しく振動する関数の定積分なので、どうやって求めるのかと思案投げ首で
す。なお、WolframAlpha では答えてくれませんでした。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年１２月１２日付け）
∫[0→1](1/x-floor(1/x))dx
=∫[1/2→1](1/x-1)dx＋∫[1/3→1/2](1/x-2)dx＋∫[1/4→1/3](1/x-3)dx＋…
=lim[n→∞]{∫[1/n→1](1/x)dx－Σ[k=2～n](1/n)}
=lim[n→∞]{logn－Σ[k=2～n](1/n)}
=－lim[n→∞]{Σ[k=2～n](1/n)－logn}
=1－lim[n→∞]{Σ[k=1～n](1/n)－logn}
=1-γ
となりますね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年１２月１３日付け）
∫[x=1→∞](1/floor(x)-1/x)dx=γ となるようですね。
Euler's constant (or the Euler-Mascheroni constant), gamma.
と言われるγについて、Wikipediaでの記事を読んでみたら、γと円周率πとの関係が分かっ
ていないという記述を見かけた。
例えば、πと自然対数の底 e とは、これをつなぐ関係式はしばしば見ることはあるが、そう
いえばγとπはあまり見たことはなかった。
そこで、なんかないのかと探し回ったら、
Γ関数で、Γ(1/2)=√π 、Γ'(1)=-γ とガンマ関数で表現でき、また、たまたま
γ^2+π^2/6=Γ''(1)=∫[x=0→∞]e^(-x)*(log(x))^2dx
が成立することを発見した。(→ 参照：「A081855」)
これは、２つを結びつける大きな関係ではなかろうか？
何方か他に何か２つを結ぶ関係式をご存知の方はお教え下さい。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年１２月２２日付け）
本日みかけたのですが、
∫[x=0→∞] ((sin(x)*log(x))/x)dx = -γ*π/2
なのだそうです。
【御参考】 「美しすぎる 数と級数と積分と」
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年１２月２３日付け）
計算機で確認したら、ピタリ同じ数値を確認しました。sin と log の組合せ！数学って不思
議で面白い。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年１２月２４日付け）
Dengan kesaktian Indukmu さんが紹介されたサイトの関連リンク：
「オイラーの定数γとガンマ関数」
を読んでいたら、ガンマ関数Γ(z)、オイラーのガンマ数γ、ゼータ関数ζ(z) の関係式として
Γ(1)=1 、Γ'(1)=-γ 、Γ''(1)=π^2/6+γ^2=ζ(2)+γ^2
の延長として、
Γ'''(1)=-(2*ζ(3)+3*γ*ζ(2)+γ^3)
が紹介されていたので、更に続きを探っていくと、
Γ''''(1)=6*ζ(4)+8*γ*ζ(3)+3*ζ(2)^2+6*γ^2*ζ(2)+γ^4
(リンク先のこの部分は計算ミスが起きていると思われます。)
更に、
Γ'''''(1)
=-(24*ζ(5)+20*γ*ζ(4)+20*γ^2*ζ(3)+20*ζ(2)*ζ(3)+15*γ^2*ζ(2)^2
+10*γ^3*ζ(2)+γ^5)
等々の関係式が生まれてくるようです。
Γ(z)とγとζ(z)の三つ巴の様相です。
ここまでは一応計算機により同じ値を与えていくことを確認しました。
（最後の部分の確認が下記)
gp > gamma'''''(1)
%80 = -117.83940826837742425256416965496496106
一方
gp > -(24*zeta(5)+30*Euler*zeta(4)+20*Euler^2*zeta(3)+20*Euler^2*zeta(3)\
+20*zeta(2)*zeta(3)+15*Euler*zeta(2)^2+10*Euler^3*zeta(2)+Euler^5)
%81 = -117.83940826837742425256416965496496106
残念ながらζ(3)、ζ(5)にはπが含まれていないので、Γ''(1)が最も結びつける接着力が
強いようです。
また、
γ=1/2*(ζ(2)-1)+2/3*(ζ(3)-1)+3/4*(ζ(4)-1)+4/5*(ζ(5)-1)+･････
なる式にも引き付けられます。
(参考)
gp > sumpos(n=2,(n-1)/n*(zeta(n)-1))
%83 = 0.57721566490153286060651209008240243103
gp > Euler
%84 = 0.57721566490153286060651209008240243104
以下、工事中！
