重解はないものとします。また、P(x) の導関数を Q(x) とします。このとき、q を
q = Σ (1 /Q(x)) (但し n 個の実数解について総和するものとします。 )
で定義します。
質問をさせてください。： q は 任意の P(x) について、常に 0 となりますか？
※某所でみかけて、ちょっとビックリしてしまいました。初めて知りました。
たとえば、P(x) = x^3 -3*x -8*x -4 で試してみたところ
q = (1/(16-3*2^(5/2))) +(1/(16+3*2^(5/2))) +1 = 0
となりました。
証明か反例があれば御教示をくださいませ。
ａｔ さんからのコメントです。（令和５年１１月２９日付け）
常に「0」 となります。次のファイルの67ページ（Page Number：323）をご覧ください。
より一般的な結果が載っています。
https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/CRUXv32n5.pdf
（Canadian Mathematical Society の「Crux Mathematicorum 2006年9月号」）
（コメント） 数学オリンピックの問題という趣．．．かな？
Ｐ（ｘ）＝ａ（ｘ－α）（ｘ－β） に対して、Ｑ（ｘ）＝ａ（ｘ－α＋ｘ－β）＝２ａ（ｘ－（α＋β）/２）
このとき、確かに、ｑ＝１/Ｑ（α）＋１/Ｑ（β）＝（１/ａ）（１/（α－β）＋１/（β－α））＝０ と
なりますね！
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年１１月３０日付け）
at さん、誠に有難うございます。早速勉強します。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年１１月３０日付け）
「q = 0」 はわりと自明じゃないでしょうか？
方程式 P(x) = t の n 個の実数解の合計を S(t) とすると、
（ただし t はこの方程式が n 個の異なる実数解を持つ範囲を動く）
q というのは S’(0) のことなわけですが、n≧2 であれば、解と係数の関係より S(t) はそも
そも定数関数です。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年１２月１日付け）
DD++ さんに御教示を頂きましたところの《q というのは S’(0) 》が理解できませんでした。
ひどく簡単なことに違いないと思いますけれども。恥ずかしながらお願いいたします。噛み
砕いて御教示を頂けないでしょうか。宜しくお願い致します。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年１２月２日付け）
Dengan kesaktian Indukmu さん、こんな感じで伝わりますでしょうか？
方程式 P(x) = 0 の解を小さい順に x = a[k] （1≦k≦n）とします。
曲線 y = P(x) と直線 y = 0 が、各 (a[k]，0) に交点を作っている感じで図を思い浮かべて
ください。
ここから、直線 y = 0 をほんのわずかに上下にずらして y = t に移動させます。すると、各
交点 (a[k]，0) も少し移動して y 座標が t になりますね。
このとき、各交点のごく近くでは曲線は、ほぼ傾き Q(a[k]) の直線になっており、交点は当
然それをなぞるように移動します。
したがって、x 座標の変化は、y 座標の変化 t の 1/Q(a[k]) 倍となっています。
ということは、「交点の x 座標の合計 S(t) は、S(0) から qt だけ増加する」わけですが、
実はこの文だけ見れば、q は微分係数 S’(0) の定義そのものです。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年１２月２日付け）
オオオ！！！ DD++さん、有難うございます。私にも見えました。
以下、工事中！
