存在するという。そのｐの値は何か？
（コメント） ２^(2*n)＋２^(2*n+3)＋２^p
＝（２^n）^2＋２・２^n・２^(n+2)＋２^(2n+4)－２^(2n+4)＋２^p
＝（２^n＋２^(n+2)）^2－２^(2n+4)＋２^p
よって、題意を満たすためには、 ２^p＝２^(2n+4) すなわち、 ｐ＝２ｎ＋４
以上から、自然数ｎに対して、ｐ＝２ｎ＋４ と定めれば、与式は必ず平方数となる。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年１１月２７日付け）
(n,p)=(1,6)、(2,8)、(3,10)、(4,12)、… で成り立ちますので、ｐは一つに決まらず、問題が正
しくないと思います．．．と思いましたが、ひょっとして、一行目は、「自然数ｎに対して」という
意味で、答えが、p=2n+4 ということでしょうか。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年１１月２７日付け）
らすかるさんと同じですが、2^(2n)+2^(2n+3)+2^p=a^2 とおくと、2^(2n)+8*2^(2n)+2^p=a^2
より、 9*2^(2n)+2^p=a^2 から、2^p=a^2-9*2^(2n)=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
左辺は正だから、a-3*2^n＞0 で、2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n) より、b+3、b-3 が 2^c、2^d
になるのは、b+3=2^c より、b=2^c-3 、b-3=2^d より、b=2^d+3
WolfRamAlpha によると、整数解は、b=5、c=3、d=1 の1組しかない。
よって、a=5*2^n だとして、a-3*2^n=2*2^n また、a+3*2^n=8*2^n
したがって、2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)=16*(2^n)* (2^n)=16*2^(2n)=2^4*2^(2n)=2^(2n+4)
ゆえに、p=2n+4
＃多分、「素因数分解の一意性」という趣旨からして、解法は間違っていると思います。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年１１月２７日付け）
2^(2*n) + 2^(2*n+3) を 9*2^(2*n) と書いていないのが不自然なので、問題を誤記している
のでしょう。
2^(2*n) + 2^(n+3) + 2^p が正しい式で、答えは p=4 とかですかね。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年１１月２７日付け）
2^(2*n) + 2^(n+3) + 2^p の場合は、pが任意のnに対する定数ならば、p=4 しかないです
が、「任意のn」をなくして、「nに依存してよい」ならば、nが奇数限定で、p=(3n+5)/2 という解
もありますね。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年１１月２７日付け）
2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n) より、b+3、b-3 が 2^c、2^d になるのは、b+3=2^c より、
b=2^c-3 、b-3=2^d より、b=2^d+3
WolfRamAlpha によると、整数解は、b=5、c=3、d=1 の1組しかない。
これは手計算でもいけますね。
b+3=2^c より、b=2^c-3、b-3=2^d より、b=2^d+3 なので、2^c-3＝2^d+3 から、
2^c-2^d=6 すなわち、2^(c-1)-2^(d-1)=3
右辺が奇数なので、左辺も正の奇数で、d-1=0、c-1=2 の場合しかない。
すなわち、c=3、d=1 から、b=2^3-3=5
よって、整数解は、b=5、c=3、d=1 の1組しかない。
また、2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n) から、左辺が偶数(p≠0とする)より、右辺も偶数で、
aは偶数より、a=2m(mは整数) と置くと、2^p=(2m+3*2^n)(2m-3*2^n)
すなわち、2^(p-1)=(m+3*2^(n-1))(m-3*2^(n-1))
これを繰り返す事になるので、初めに、a=b*2^n（n乗じゃないと右辺は奇数になってしまう）と
置くと、2^p=(b*2^n+3*2^n)(b*2^n-3*2^n) すなわち、2^(p-2n)=(b+3)(b-3)
よって、b+3=2^c、b-3=2^d と置くのですね。（p-2n＞0）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年１１月２７日付け）
題意より、2^(2*n)+2^(2*n+3)+2^p=m^2 (m：整数) とおくと、
2^p=m^2-2^(2*n)*(1+2^3)=m^2-(2^n*3)^2=(m-3*2^n)*(m+3*2^n)
ここに、素因数分解の一意性から、
m-3*2^n=2^s･････① 、m+3*2^n=2^t･････②
を満たす自然数 s、t (s＜t) が存在する。ただし、s+t=p･････③
②-①より、3*2^(n+1)=2^t-2^s=2^s*(2^(t-s)-1)
ここに、2^s は偶数より、2^(t-s)-1=3 でなければならない。
よって、2^(t-s)=2^2 から、t-s=2 このとき、s=n+1 で、t=s+2=n+3
③からp=2*n+4
．．．なるものを準備していました。問題文の表現をどの様に表せばいいかの難しさを身に
染みて感じます。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年１１月２７日付け）
壊れた扉さん、なるほどです。手計算でできますね。
GAI さん、なるほど。最初はその方向で・・・・でも、むつかしそうで、諦めました。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年１１月２７日付け）
らすかるさん、n 依存の話をするなら、n が奇数限定で p = 3n-5 もありますし、n = 7 で、
p = 15 のような、かなり特殊な解もあります。まあ、なんにせよ誤記ではなかったようですけ
れども。
GAI さん、「9*4^n」 という簡素な表記にせず、わざわざ 「2^(2*n)+2^(2*n+3)」 という表記に
した理由はなんだったのでしょう？
以下、工事中！
