次の平方数９個を使い、
a(1)=1、a(2)=1、a(3)=25、a(4)=121、a(5)=1296、a(6)=9025、a(7)=78961、a(8)=609961、
a(9)=5040025 とし、数列 {a(n)} を
a(n)=5a(n-1)+35a(n-2)-67a(n-3)-145a(n-4)+145a(n-5)+67a(n-6)-35a(n-7)-5a(n-8)+a(n-9)
なる漸化式を構成すれば、すべての自然数ｎで、a(n) が平方数を産み出すという。
よくもこんな漸化式を思いつけるものですね〜。
（コメント） a(10)を計算してみました。
a(10)=5a(9)+35a(8)-67a(7)-145a(6)+145a(5)+67a(4)-35a(3)-5a(2)+a(1)
=5*5040025+35*609961-67*78961-145*9025+145*1296+67*121-35*25-5*1+1
=40144896
=6336^2 ・・・ 確かに、平方数！不思議ですね。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年１１月１１日付け）
a[1]=1、a[2]=4、a[3]=49、a[n+3]=15a[n+2]-15a[n+1]+a[n] みたいなことですかね？
作るだけならわりと簡単な気もしますけれども。
（コメント） a[4]=15a[3]-15a[2]+a[1]=15*49-15*4+1=676=26^2 平方数！
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年１１月１２日付け）
４項間での漸化式でも構成可能と示してもらったので、これを手掛かりに挑戦してみました。
分析していくと、とってもチェビシェフ多項式と深い関係を結べる構造が見えてきました。
a(1)=1、a(2)=4、a(3)=9 または a(1)=1、a(2)=1、a(3)=9 で、
a(n)=3(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)
a(1)=1、a(2)=4、a(3)=49 または a(1)=1、a(2)=16、a(3)=225
または a(1)=1、a(2)=1、a(3)=9 または a(1)=1、a(2)=1、a(3)=25 で、
a(n)=15(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)
a(1)=1、a(2)=9、a(3)=289 または a(1)=1、a(2)=36、a(3)=1225
または a(1)=1、a(2)=1、a(3)=25 または a(1)=1、a(2)=1、a(3)=49 で、
a(n)=35(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)
a(1)=1、a(2)=16、a(3)=961 または a(1)=1、a(2)=64、a(3)=3969
または a(1)=1、a(2)=1、a(3)=49 または a(1)=1、a(2)=1、a(3)=81 で、
a(n)=63(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)
･････････････････
と、必ず平方数しか産み出さない漸化式が構成できますね。
以下、工事中！
