般項はどのような形になるか。
条件
・a(0,k)=a(1,1)=1
・a(n-1,n)=a(n,n)
・a(m,n)＝a(m,n-1)+a(m-1,n)
例えば、a(1,4)=5、a(2,3)=5 である。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年１０月２３日付け）
a(n,n) はカタラン数になり、それを例の経路問題で意味づけをすると、a(m,n) は途中も含
めた各交差点への経路数ってことですね。綺麗な一般項で書けるのかな？
ところで、a(1,1)=1 っていう条件は、存在する意味がない気がするんですが、どうなんでしょ。
（コメント） 条件２から、a(1,4)=a(0,4) で、条件１から、a(0,4)=1 即ち、a(1,4)=1 となるはずだ
が、a(1,4)=5 とはこれ如何に？k は任意の非負整数でないのかな？
ａｔ さんからのコメントです。（令和５年１０月２８日付け）
a(m,n)=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!) となります。
サイト「カタラン数の一般項を簡単に求める」に、カタラン数を求める興味深い方法があり
ます。
そこに示されている方法から、a(m,n) は x の多項式 (-1+x)*(1+x)^(n+m) を展開したとき
の x^(n+1) の係数となることがわかります。
a(m,n)=C[n+m,n]-C[n+m,n+1]=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!).
より一般には、次のことが知られています。
1,2,…,m と書かれたカードがそれぞれ a[1],a[2],…,a[m] 枚ある。これらのカードを左から
右に1列に並べるとき、左から順に見ていって、常に、
(1の枚数)≧(2の枚数)≧…≧(mの枚数)
を満たしているような並べ方の総数を f(a[1],a[2],…,a[m]) で表す。
a[1]≧a[2]≧…≧a[m] のとき、
f(a[1],a[2],…,a[m])
=((a[1]+a[2]+…+a[m])!/((a[1]+m-1)!*(a[2]+m-2)!*…*(a[m])!))*Π[i<j](a[i]+m-i-(a[j]+m-j))
が成立する。
（コメント） a(m,n)=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!) に、m=1、n=4 を代入すると、a(1,4)=4 で
例示の a(1,4)=5 にはなりませんが．．．？
ａｔ さんからのコメントです。（令和５年１０月２８日付け）
・a(0,k)=a(1,1)=1 および
・a(m,n)＝a(m,n-1)+a(m-1,n)
から、a(1,2)=a(1,1)+a(0,2)=1+1=2 、a(1,3)=a(1,2)+a(0,3)=2+1=3、a(1,4)=a(1,3)+a(0,4)=3+1=4
となると思います。例示の a(1,4)=5 はおそらく ａｒｃ さんの計算ミスではないでしょうか。
（コメント） 確かに、a(1,4)=5 は、arcさんの記載ミスで、a(1,4)=4 が正しいのでしょう。
atさんの与えられた a(m,n)=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!) は、条件２を満たすことを確認し
ました。
a(n-1,n)=a(n,n) ならば、a(1,4)=a(0,4) で、条件１より、a(0,4)=1 なので、a(1,4)=1 となるはず
ですが、先に示した a(1,4)=4 と矛盾し、よく分かりません。
ａｔ さんからのコメントです。（令和５年１０月２８日付け）
a(n-1,n)=a(n,n) ならば、a(1,4)=a(0,4) で、
ここがおかしいのではないでしょうか？a(n-1,n)=a(n,n) という条件式から、a(1,4)=a(0,4) を
導くことはできますか？
例えば、a(3,4)=a(4,4)、a(4,5)=a(5,5) は導けます。
（コメント） 勘違いしていました！確かに、a(4,4)には適用出来て、a(3,4)ですが、a(1,4)には
適用出来ないんでした！
以下、工事中！
