次の記事は正しいのか?

　{1,2,3,4,5}の数を繰り返して使ってよいものとして、これを一列に並べた状態を

　a1,a2,a3,a4,a5,a6,･･････,a10

とした時(a10の次にはa1,a2,a3,が再び続くものとする。)、これを左から3個ずつ取り、ずらし
ながら区切っていくと、

　{a1,a2,a3},{a2,a3,a4},{a3,a4,a5},{a4,a5,a6},･･･

なる組が出来て行く。この時、これで出来て行く各組の状態がどれも重複することなく、

₅Ｃ₃=5*4*3/(3*2*1)=10(通り) のすべての組合せ

　123,124,125,134,135,145,234,235,245,345

の状態が構成できるのかどうか？

　結構惜しいところまでは進めれるのですが、完全な当初の配列を見つけられずにいます。

　ある書物に、{1,2,3,･･･,n} の数字を繰り返し並べ、k個ずつの組を構成していくとき、k が、

_n-1C_k-1 を割り切る条件が必要で、k=3 なら、そのすべてのｎでは、_nC_k のすべての組合せ

を作り出す配列は構成可能(証明された。)との記事を読む。

　例えば、n=8 なら、₇C₂=7*6/2=21 なので条件を満たし、確かに、56個の数を次の配列で
並べておくと、

{8, 2, 4, 5, 6, 1, 4, 5, 7, 1, 2, 3, 6, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 3, 6, 7, 1, 3, 4, 5, 8, 3, 4, 6, 8, 1, 2, 5, 8, 1, 3,
　5, 6, 7, 2, 5, 6, 8, 2, 3, 4, 7, 2, 3, 5, 7, 8, 1, 4, 7}

この配列からは、₈C₃=8*7*6/(3*2*1)=56(通り) の組合せが重複することなく全て産み出さ
れていく。

　そこで、n=5 なら、₄C₂=4*3/2=6 なので、条件は揃っているので、₅C₃=10(通り) のものを

産み出すものと、何とか挑戦はしているのですが・・・。

　はて、この記事は正しいのか間違っているのか？


　らすかるさんからのコメントです。（令和５年１０月１８日付け）

　不可能ですね。比較的簡単に証明できます。

・3つ組の中に、「aとbを含むもの」は3個なので、1周の中に同じ隣接ペアが複数個あっては
　いけない
・連続4つの中に同じ数字を二つ含めることはできない

ということがわかっていれば、最初の4つは何を置いても同じなので、1,2,3,4 とする。

　1,2,3,4,a,b,c,d,e,f

　aは1か5、fは4か5しかない。

　1,2,3,4,1,b,c,d,e,4 は、1と4の隣接が2組となり不適

　1,2,3,4,1,b,c,d,e,5 とすると、bに置けるものがなく不適
（b=2だと1と2の隣接が2組、b=5だと1と5の隣接が2組になってしまう）

　1,2,3,4,5,b,c,d,e,4 とすると、eに置けるものがなく不適
（e=3だと3と4の隣接が2組、e=5だと4と5の隣接が2組になってしまう）

　1,2,3,4,5,b,c,d,e,5 とすると、b=2、e=3 と決まるが、145 が作れず不適。



　　以下、工事中！