X^4+4*Y^4=X^4+4*X^2*Y^2+4*Y^4-4*X^2*Y^2=(X^2+2*Y^2)^2-(2*X*Y)^2
=(X^2-2*X*Y+2*Y^2)*(X^2+2*X*Y+2*Y^2)
と、２つの積で作り直せる。
同じく、A^3+B^3=(A+B)*(A^2-A*B+B^2) までは出来るが、A=X^2、B=3*Y^2 と置き直すと、
X^6+27*Y^6=(X^2+3*Y^2)*(X^4-3*X^2*Y^2+9*Y^4)
=(X^2+3*Y^2)*(X^4+6*X^2*Y^2+9*Y^4-9*X^2*Y^2)
=(X^2+3*Y^2)*((X^2+3*Y^2)^2-(3*X*Y)^2)
=(X^2+3*Y^2)*(x^2-3*X*Y+3*Y^2)*(X^2+3*X*Y+3*Y^2)
と、３つの積で作り直せる。
A^5-B^5=(A-B)*(A^4+A^3*B+A^2*B^2+A*B^3+B^4) であるが、A=5*X^2、B=Y^2 と置き
直すと、
(5*X^2-Y^2)*(625*X^8+125*X^6*Y^2+25*X^4*Y^4+5*X^2*Y^6+Y^8)
=(5*X^2-Y^2)*(25*X^4 - 25*X^3*Y + 15*X^2*Y^2 - 5*X*Y^3 + Y^4)
*(25*X^4 + 25*X^3*Y + 15*X^2*Y^2 + 5*X*Y^3 + Y^4)
という３つの積の形に作り変えられる。
そこで、
A^7+B^7=(A+B)*(A^6-A^5*B+A^4*B^2-A^3*B^3+A^2*B^4-A*B^5+B^6)
ではあるが、A、B を適当に置き直すことで、３つの積で作った形に直してほしい。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年８月３０日付け）
４つだと簡単なので、「ちょうど３つの因数」ということですよね？それならば、例えば、
A=X^3+1、B=Y^3-1 とすれば、
A^7+B^7=(X^3+1)^7+(Y^3-1)^7
=(X+Y)*(X^2-XY+Y^2)*
{(X^18-X^15Y^3+X^12Y^6-X^9Y^9+X^6Y^12-X^3Y^15+Y^18)
+7(X^15-X^12Y^3+X^9Y^6-X^6Y^9+X^3Y^12-Y^15)
+21(X^12-X^9Y^3+X^6Y^6-X^3Y^9+Y^12)+35(X^9-X^6Y^3+X^3Y^6-Y^9)
+35(X^6-X^3Y^3+Y^6)+21(X^3-Y^3)+7}
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年８月３１日付け）
なるほど！この発想でもいけるのか。全く関係ありませんが、上の第３項目を書き直すと、
(X^18+Y^18) - X^3*Y^3*(X^12+Y^12)+X^6*Y^6*(X^6+Y^6)-X^9*Y^9 +
7*{ (X^15-Y^15) -X^3*Y^3*(X^9-Y^9) +X^6*Y^6*(X^3-Y^3)} +
21*{(X^12+Y^12) -X^3*Y^3*(X^6+Y^6) +(X^3-Y^3)+X^6*Y^6} +
35*{ (X^9-Y^9) -X^3*Y^3*(X^3-Y^3) +(X^6+Y^6)-X^3*Y^3} +7
と、なんかきれい。
なお、こちらが用意していたのが、A=7*X^2、B=Y^2 と置いて出来る
823543*X^14+Y^14
=(7*X^2+Y^2)*(117649*X^12 - 16807*Y^2*X^10 + 2401*Y^4*X^8 - 343*Y^6*X^6
+ 49*Y^8*X^4 - 7*Y^10*X^2 + Y^12)
=(7*X^2+Y^2)
* (343*X^6 - 343*Y*X^5 + 147*Y^2*X^4 - 49*Y^3*X^3 + 21*Y^4*X^2 - 7*Y^5*X + Y^6)
* (343*X^6 + 343*Y*X^5 + 147*Y^2*X^4 + 49*Y^3*X^3 + 21*Y^4*X^2 + 7*Y^5*X + Y^6)
なる式でした。なんかきれいかな。
以下、工事中！
