内角のすべてが整数度(1°の整数倍)となるような三角形であることが起こる３点の選び方
はそれぞれ何通りあるか？
(1) n=14 (2) n=15 (3) n=16
（コメント） （２）（３）を計算してみました。３点の選び方が問題なので、合同や裏返しで重な
る三角形も異なると見なしてよい。
（２） 正１５角形の１辺に対する円周角は、１２°で、これらを組み合わせて三角形を作ること
になる。よって、１５個の頂点から３つの頂点を選ぶ場合の数は、15Ｃ3＝４５５（通り）。
＃当初、考え違いをしていることに気づき、修正しました。
（３） 正１６角形の１辺に対する円周角は、１１．２５°で、これらを組み合わせて三角形を作
るには、（４，４，８）、（４，８，４）、（８，４，４）の組み分けで三角形が作られる。
よって、求める場合の数は、１６×３＝４８（通り）
らすかるさんからのコメントです。（令和５年８月２４日付け）
(2)は、正１５角形のどの３頂点を選んでも、その３点で作られる三角形のすべての内角は
整数度になるから、15Ｃ3＝４５５（通り） となるような気がします。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年８月２４日付け）
外接円を考えたときに、任意の２頂点間にできる中心角が偶数度になればいいと考えます。
(1) 360/14 を整数倍して偶数を作るには、７の倍数を掛けるしかなく、正の７の倍数 3 つ
合計で 14 にはできません。よって、0 通り。
(2) 360/15 を整数倍して偶数を作るには、任意の整数でよく、結局 A、B、C を重複しない
ように任意に選べばいいです。よって、15P3 ＝ 2730 通り。
(3) 360/16 を整数倍して偶数を作るには、4 の倍数を掛けるしかなく、正の 4 の倍数 3 つ
合計で 16 になるのは、4、4、8 という組み合わせのみ。つまり、直角二等辺三角形を作
るしかありません。
A が直角なものが 16*2 = 32 通り、B と C についても同じ個数あるので、全部で
32*3 = 96 通り
##「３頂点を選んで三角形をつくる」のではなく、「３頂点A、B、Cを選んで三角形ABCを作る」
問題ですから、点の名前が入れ替われば別物とすべきだと思います。
（コメント） DD++ さん、解答をありがとうございます。合点しました！
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年８月２４日付け）
(1)は、90°の角度は作れるが、他の内角は整数になれなく、結局、０(通り)
(2)は、出題の時３点を何気にA、B、Cと言ってしまったのでDD++さんの解釈が起こったが
(こう質問するとDD++さんが正しい。)、こちらが思っていたのは、１５個の頂点の３つの組合
せが幾つ取れるか？のつもりで考えていたので、15Ｃ3＝455(通り) でお願いしておきます。
(3)は、直角二等辺三角形なら条件を満たすので、これも頂点1,2,3,･･･,16 からの３つの頂点
の選び方は各頂点に90°の部分がくる場合の16（通り)という予定でした。
正ｎ多角形と、その頂点の任意の３点を結んで作る三角形の３つの内角がどれも整数角
となれるのが、
n=5 -->各内角は、36°の整数倍
n=6 -->各内角は、30°の整数倍
n=9 -->各内角は、20°の整数倍
n=10 -->各内角は、18°の整数倍
n=12 -->各内角は、15°の整数倍
n=15 -->各内角は、12°の整数倍
n=18 -->各内角は、10°の整数倍
n=20 -->各内角は、9°の整数倍
n=30 -->各内角は、6°の整数倍
n=36 -->各内角は、5°の整数倍
が起こせるんですね。計算をして初めて気付けました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年８月２５日付け）
この正多角形をどんどん大きくして行った時、どうしたらいいのか迷っているので、次の問
題を考えて頂きたい。
正1000角形の図形があるとする。この任意の頂点３か所を選んで作られた三角形の内角
が全部整数角となる頂点３か所の選び方は全部で何通りあるかを求めて欲しい。
但し、頂点には固有の番号が振り当てられているものとします。
できたら、正2024角形、正2345角形でも求めて欲しい。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年８月２５日付け）
（正1000角形）
1000=2^3×5^3、180÷(2^2×5)=9 と 2×5^2=50は互いに素なので、整数角になるためには
頂点を 50n 個(円周角9n°)単位で使用しなければならない。
よって、 (1000÷50)C3×50=57000（通り）
（正2024角形）
2024=2^3×11×23、180÷2^2=45 と 2×11×23=506 は互いに素なので、整数角になるた
めには、頂点を 506n 個(円周角45n°)単位で使用しなければならない。
よって、 (2024÷506)C3×506=2024（通り）
（正2345角形）
2345=5×7×67、180÷5=36 と 7×67=469 は互いに素なので、整数角になるためには、頂
点を 469n 個(円周角36n°)単位で使用しなければならない。
よって、 (2345÷469)C3×469=4690（通り）
つまり、正N角形の場合は、g=gcd(N,180) として、
gC3×(N/g)通り（ただし、g＜3 のとき、０通り）
ということですね。
（コメント） 正１０００角形について、１辺に対する円周角は、９/５０なので、５０個のまとまり
ごとに整数角となる。
よって、自然数ｋ、ｌ、ｍに対して、９ｋ＋９ｌ＋９ｍ＝１８０ から、 ｋ＋ｌ＋ｍ＝２０
回転させて重なる解（ｋ，ｌ，ｍ）は同一視して、手作業で解を求めると、
（ｋ，ｌ，ｍ）＝（18，1，1）、（17，2，1）、（17，1，2）、（16，3，1）、（16，2，2）、（16，1，3）、
（15，4，1）、（15，3，2）、（15，2，3）、（15，1，4）、（14，5，1）、（14，4，2）、（14，3，3）、
（14，2，4）、（14，1，5）、（13，6，1）、（13，5，2）、（13，4，3）、（13，3，4）、（13，2，5）、
（13，1，6）、（12，7，1）、（12，6，2）、（12，5，3）、（12，4，4）、（12，3，5）、（12，2，6）、
（12，1，7）、（11，8，1）、（11，7，2）、（11，6，3）、（11，5，4）、（11，4，5）、（11，3，6）、
（11，2，7）、（11，1，8）、（10，9，1）、（10，8，2）、（10，7，3）、（10，6，4）、（10，5，5）、
（10，4，6）、（10，3，7）、（10，2，8）、（10，1，9）、（9，9，2）、（9，8，3）、（9，7，4）、（9，6，5）、
（9，5，6）、（9，4，7）、（9，3，8）、（8，8，4）、（8，7，5）、（8，6，6）、（8，5，7）、（7，7，6）
の５７通りある。
（→ らすかるさんの計算を見て、ここは、20Ｃ3÷２０＝５７ とすれば求まるのかな？）
よって、三角形の選び方は、５７×１０００＝５７０００（通り）となる。
＃らすかるさんの結果と一致して、安心しました！
以下、工事中！
