べての組合せを探すとき、コンピュータでの検索無しで、どこまで迫れるものなのか、挑戦
願う。
（コメント） いくつか計算してみました。
（ａ，ｂ，Ｐ）＝（1，2，1）、（2，2，2）、（3，2，3）、（4，2，4）、（4，4，8）、（5，2，5）、（6，2，6）、
（6，6，18）、（7，1，14）、（7，2，7）、（8，2，8）、（8，8，32）、（9，2，9）、（9，5，3）、
（10，2，10）、（10，10，50）、（11，2，11）、（12，2，12）、（12，12，72）、（13，2，13）、
（14，2，14）、（14，8，2）、（14，14，98）、（15，2，15）、（16，2，16）、（16，16，128）、
（17，2，17）、（18，2，18）、（18，8，2）、（18，18，162）、（19，2，19）、（20，2，20）、
（20，20，200）、・・・
この試算から分かることは、ｂ＝２ のとき、P(ａ，ｂ)＝ａ なので、Ｐ(ａ，ｂ) は常に正の整数
となる。したがって、(a，２)という組は、求める解の組に必ず含まれる。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年８月２日付け）
P(7,1) = 14 、P(21,1) = 63 、P(42,1) = 144 、P(91,1) = 338 、P(189,1) = 729
P(n,2) = n
P(2n,2n) = 2n^2
a＞b＞2 のとき以外は、上記で全部なことは確認しました。
a＞b＞2 の場合が難しい……。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年８月２日付け）
・b=1 のとき、Ｐ=4a^2/(a+7)=4a-28+196/(a+7)
a+7 は、8以上の196の約数なので、a+7=14,28,49,98,196 より、 a=7,21,42,91,189
（4a^2/(a+7) から a が正なら負になることはない）
→ (a,b)=(7,1)、(21,1)、(42,1)、(91,1)、(189,1)
・b=2 のとき、Ｐ=4a^2/4a=a → (a,b)=(n,2)
・b=3 のとき、Ｐ=4a^2/(9a-19)={4(9a+19)+1444/(9a-19)}/81
9a-19 は、1444の約数なので、9a-19=1,2,4,19,38,76,361,722,1444
しかし、9a-19 は、9で割って8余る数なので、すべて不適。
・b=4 のとき、Ｐ=4a^2/(16a-56)=a^2/(4a-14)={(2a+7)+49/(2a-7)}/8
2a-7 は、49の約数なので、2a-7=1,7,49 より、a=4,7,28
このうち、a=7 は、与式が正整数にならず不適なので、a=4,28 が適解。
→ (a,b)=(4,4)、(28,4)
・b=5 のとき、Ｐ=4a^2/(25a-117)={4(25a+117)+54756/(25a-117)}/625
25a-117 は、54756の約数であり、54756の約数のうち、117足して25の倍数になるものは、
25a-117=108のみ。このとき、a=9で、a=9のとき、与式は正整数になるので、a=9 は適解。
→(a,b)=(9,5)
・b=6 のとき、Ｐ=4a^2/(36a-208)=a^2/(9a-52)={(9a+52)+2704/(9a-52)}/81
9a-52 は、2704の約数であり、2704の約数のうち、52足して9の倍数になるものは2と1352
のみ。このとき、順に、a=6,156 で、いずれも与式は正整数になり適解。
→ (a,b)=(6,6)、(156,6)
・b=7 のとき、Ｐ=4a^2/(49a-335)={4(49a+335)+448900/(49a-335)}/2401
49a-335 は、448900の約数だが、448900の約数のうち、335足して49の倍数になるものは
存在しないので、解なし。
・b=8 のとき、Ｐ=4a^2/(64a-504)=a^2/(16a-126)={(8a+63)+3969/(8a-63)}/128
8a-63 は、3969の約数であり、3969の約数のうち、63足して8の倍数になるものは、
1,9,49,81,441,3969
このとき、順に、a=8,9,14,18,63,504 だが、与式に代入して、正整数になるものは、
a=8,14,18,504の4個
→ (a,b)=(8,8)、(14,8)、(18,8)、(504,8)
・b=9 のとき、Ｐ=4a^2/(81a-721)={4(81a+721)+2079364/(81a-721)}/6561
81a-721 は、2079364の約数だが、2079364の約数うち、721足して81の倍数になるものは
存在しないので、解なし。
・b=10 のとき、Ｐ=4a^2/(100a-992)=a^2/(25a-248)={(25a+248)+61504/(25a-248)}/625
25a-248 は、61504の約数であり、61504の約数のうち、248足して25の倍数になるものは
2と30752のみ。このとき、順に、a=10,1240 で、いずれも、与式は正整数になり適解。
→ (a,b)=(10,10)、(1240,10)
・b=11 のとき、Ｐ=4a^2/(121a-1323)={4(121a+1323)+7001316/(121a-1323)}/14641
121a-1323 は、7001316の約数であり、7001316の約数のうち、1323足して121の倍数にな
るものは存在しないので、解なし。
・b=12 のとき、Ｐ=4a^2/(144a-1720)=a^2/(36a-430)={(18a+215)+46225/(18a-215)}/648
18a-215 は、46225の約数であり、46225の約数のうち、215足して18の倍数になるものは
1と46225のみ。このとき、順に、a=12,2580 で、いずれも、与式は正整数になり適解。
→ (a,b)=(12,12)、(2580,12)
・b=13 のとき、Ｐ=4a^2/(169a-2189)={4(169a+2189)+19166884/(169a-2189)}/28561
169a-2189 は、19166884の約数であり、19166884の約数のうち、2189足して169の倍数
になるものは存在しないので、解なし。
・b=14 のとき、Ｐ=4a^2/(196a-2736)=a^2/(49a-684)={4(49a+684)+1871424/(49a-684)}/9604
49a-684 は、1871424の約数であり、1871424の約数のうち、684足して49の倍数になるも
のは、2,32832,233928
このとき、順に、a=14,684,4788 だが、a=684は、与式が正整数にならず不適なので、
a=14,4788 が適解。
→ (a,b)=(14,14)、(4788,14)
・b=15 のとき、Ｐ=4a^2/(225a-3367)={4(225a+3367)+45346756/(225a-3367)}/50625
225a-3367 は、45346756の約数であり、45346756の約数のうち、3367足して225の倍数に
なるものは存在しないので、解なし。
・b=16 のとき、Ｐ=4a^2/(256a-4088)=a^2/(64a-1022)={(32a+511)+261121/(32a-511)}/2048
32a-511 は、261121の約数であり、261121の約数のうち、511足して32の倍数になるもの
は、1と261121のみ。
このとき、順に、a=16,8176 で、いずれも、与式は正整数になり適解。
→ (a,b)=(16,16)、(8176,16)
・b=17 のとき、Ｐ=4a^2/(289a-4905)={4(289a+4905)+96236100/(289a-4905)}/83521
289a-4905 は、96236100の約数であり、96236100の約数のうち、4905足して289の倍数に
なるものは、8100のみ。このとき、a=45 となり、与式は正整数になるので適解。
→ (a,b)=(45,17)
ここまでをまとめると、b≦17 のときの解は、
(a,b)=(7,1)、(21,1)、(42,1)、(91,1)、(189,1)、(n,2)、(4,4)、(28,4)、(9,5)、(6,6)、(156,6)、(8,8)、
(14,8)、(18,8)、(504,8)、(10,10)、(1240,10)、(12,12)、(2580,12)、(14,14)、(4788,14)、(16,16)、
(8176,16)、(45,17)
眺めてみて、(2n,2n) が解になりそうなので、a=b=2n とすると、Ｐ=2n^2 となり、成り立つ。
また、(4,4)と(28,4)、(6,6)と(156,6)、(8,8)と(504,8)、(10,10)と(1240,10)、(12,12)と(2580,12)、
(14,14)と(4788,14)、(16,16)と(8176,16) は、いずれも、与式の値が同じなので、このことから、
後者の一般解を導出すると、(a,b)=(2n(n^3-1),2n)
（まとめ） 一般式で表される解でわかっているものは、
(a,b)=(n,2)、(2n,2n)、(2n(n^3-1),2n) （ただし、前二つは、n≧1、最後の一つは、n≧2）
それ以外でわかっている解は、b≦17 のとき、
(7,1)、(21,1)、(42,1)、(91,1)、(189,1)、(9,5)、(14,8)、(18,8)、(45,17)
孤立解で、b＞17 であるものは未発見なので、存在するかどうかは不明。
(a,b)=(9,5) のときの与式の値が 3、(a,b)=(14,8)、(18,8) のときの与式の値が 2、(a,b)=(45,17)
のときの与式の値が 1 となるため、ひょっとすると、b＞17 の孤立解は存在しないかも？
# 最初、b=12 まででしたが、その後、プログラムで探索したところ、(a,b)=(45,17) という解が
あることがわかりましたので、b=17 までに拡張しました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年８月３日付け）
元々 P(a,b)=a^2/(2*a*b^2-b^3+1) での格子点探しの問題に挑戦していて、分数型での形
が面白かったので、もっと他の形で調べたらどうなるだろうかと
P(a,b)=3*a/(4*a^2*b^3-b^5+1) 、P(a,b)=4*a/(a*b^2-b^3+8)
などと調査して、 P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+8) を調べていた時、結構色々なパターンが同
時に含まれてきて、果てこれを手作業だけで見つけ出すことは可能なのだろうかと、疑問に
持った。
b=1 の場合の攻め方 、b=2 の場合の特別さ 、及び、a=b=2*n での思い掛けなさ
ところが、コンピュータによる検索では、P(9,5)=3、P(45,17)=1 などの、思いもよらぬものの
出現
更に、
a=b=2*nで、P(2*n,2*n)=2*n^2 と整理されたであろう部分から、a=2*n*(n^3-1)、b=2*n の
組み合わせも顔をのぞかせる意外さ
(この式で表されることに気付けたときはビックリしました。）
実は、らすかるさんの解答を拝見して、P(14,8)=P(18,8)=2 が存在できることをすっかり見
落としておったことに気付かされました。
他に思い掛けなく存在できる格子点が存在しているのではないかという一抹の不安はありま
す。
なお、P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+7) に対して調査していたら、
P(2,1)=2 、P(3,1)=4 、P(6,1)=12 、P(10,1)=25 、P(12,1)=32 、P(18,1)=54 、P(30,1)=100
P(42,1)=147 、P(66,1)=242 、P(138,1)=529
と、やたらと多くのパターンが発生可能
P(7*n,7*n)=P(7*n*(n*(7*n)^2-1),7*n)=28*n^2
と、やはり２通りの形式で作れます。
他に、
P(4,3)=P(5,3)=4 、P(20,3)=10 、P(180,3)=81
となるようです。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年８月３日付け）
この P(a,b) ですが、実は、
P((ab^3-8a)/(ab^2-b^3+8),b) = P(a,b)
という恒等式が成立します。
P(2n(n^3-1),2n) = P(2n,2n) も P(14,8) = P(18,8) も、この恒等式の一部ですね。
尤も、b が偶数または P が 4 の倍数のときでないと、左辺が整数解にはなりませんけども。
以下、工事中！
