N(N-1)(N-2) について、N=3k なら、3 の倍数であり、N=3k+1でも、3 の倍数であり、N=3k+2
でも、3 の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3) について、N=4k なら、4 の倍数であり、N=4k+1でも、4 の倍数であり、
N=4k+2でも、4 の倍数であり、N=4k+3でも、4 の倍数である。
同様に、N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) なら、5 の倍数である。N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5) なら、
6 の倍数である。
したがって、N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)} なら、Sの倍数である。
さて、計算によると、
N(N-1)=N^2-N より、2 の倍数である。
N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N) これは、3 の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N) これは、4 の倍数でなく、2 の倍数。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N) これは、5 の倍数。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
これは倍数を持たない。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)
=(N^7-N)-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
これは、7の倍数
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)
=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
これは、8の倍数でなく、2の倍数
理屈では、Sが素数なら、左辺と右辺は計算と一致するが、合成数では左辺と右辺は一致
しない。しかし、計算上は、左辺＝右辺は成立する。左辺を展開し計算すると、右辺になる。
Sが素数なら、（素数でなくても）
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}
=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が上の結果から成り立つはずである。うまい証明はないだろうか？
まあ、
1*2*3*4*・・・・*(S-1)N+N-a1N+a2N-a3N・・・・-a(s-2)N+a(s-1)N=0
すなわち、 1*2*3*4*・・・・*(S-1)+1-a1+a2-a3・・・・-a(s-2)+a(s-1)=0
を証明することであるのですが．．．。（→ 詳細計算は、リンクにあります。）
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月３０日付け）
合成数の場合でも、他の変形をすれば一致しますよね。むしろ、素数の場合は、この変形
で係数が全て素数倍になる事が見事ですね。
また、係数の符号が±で交替になっている事も面白いですね。
数学的帰納法でちょっとやってみましたが、無理っぽいので止めました。因みに、
N(N-1)(N-2)=(N^3-N)-3(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)
=(N^7-N)-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)
=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
これらの右辺の係数を各段それぞれ足すと、左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした
数になるのも面白いですね。
証明は簡単ですね。左辺のNの項の係数は、ｋ段目は、(-1)^k・ｋ!で、右辺のNの係数は
括弧の係数の和×(-1) ですから、「左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」の
は当然でした。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月３０日付け）
もう少しわかりやすく説明してもらえないでしょうか？
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月３０日付け）
私も書いた後に中途半端で変だなと思っていました。
左辺のNの項の係数は、N(N-1)(N-2)だったらNを外した(N-1)(N-2)の定数項と等しいです
よね。N(N-1)(N-2)(N-3)だったら(N-1)(N-2)(N-3)の定数項と等しいという事です。
（ここで、ｋ段目は、(-1)^k・ｋ! なんて必要ありませんでした。）
また、右辺のNの項の係数は、(N^3-N)-3(N^2-N) だったら（ ）の係数１と－３を足して
－Nをかけるので、{１＋(－３)}×(－１)で最後の×(－１)で符号が逆になるので、「右辺の係
数を各段それぞれ足すと、左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然
でしたという事です。（また、ちょっと分かり難いかもしれません。）
結局、うんざりはちべえさんが見い出した、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}
=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が成り立つ事がキーという事です。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月３１日付け）
N(N-a)=N^2-Na=(N^2-N)-Na+N=(N^2-N)+(1-a)N
N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+Nab+N-(a+b)N
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+{ab+1-(a+b)}N=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+(a-1)(b-1)N
N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)+{-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)- (a-1)(b-1)(c-1)N
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)
=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N+(abc+abd+acd+bcd)N
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)N
ここで、a=1 ですから 0 ですね。
この関係から、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e) については、-(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)(e-1) に
なるのでしょうね。
(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)とN(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)は、ほぼ同じだから、当
たり前だというのがわかりました。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月３１日付け）
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)
=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)N
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)N
と変形出来て、ａ＝１から、
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
と出来るのですね。
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}
=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が上の結果から成り立つはずである。うまい証明はないだろうか？
見事に自分で解決されましたね。因みに、何次でも
abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)N
の部分はNの項になり、解と係数の関係と同じで±が交互になり、必ず
±(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)…
と因数分解でき、ａ＝１より、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}
=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
の形に出来るのですね。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月１日付け）
等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。ところが、合成数のとき、
左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。つまり、N^s-N で ｓ が合成数なら s
の倍数にならないということです。
たとえば、N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N) は、左辺は4の倍数ですが、
右辺の係数は、6、11 で、共通の倍数を持ちません。
N^4-N が4の倍数とすると、ですから成り立ちません。N^3-N は3の倍数、N^2-N は2の倍
数ですから、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)=4a-6x3b+11x2c=4a-18b+22cで4の倍数にはな
りません。
N^4-N がいくつの倍数 たとえば、ｘでも、xa-18b+22c は、a、b、c に関わらず4の倍数には
なりません。だから、合成数はなにか不思議な力が作用しているのです。その理由がわかり
ません。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年８月１日付け）
等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。ところが、合成数のとき、
左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。
この右辺が ｘ だけでつながった式ならおかしいですが、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N) は
和と差でつながっているのでおかしくありません。確か、NHKの番組でも掛け算は簡単です
が足し算は難しいというような話をやっていましたよね。それと同じ事です。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月１日付け）
・素数は、
２：N(N-1)=N^2-N
３：N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)
５：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
７：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)
=N^7-N-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
注：175=5^2*7、735=3*5*7^2、1624=2^3*7*29、1764=2^2*3^2*7^2
・・・ すべて、係数が素数の倍数。
検算 右辺の因数分解の結果
(%i1) factor((N^3-N)-3*(N^2-N));
(%o1) (N - 2) (N - 1) N
(%i2) factor((N^5-N)-10*(N^4-N)+35*(N^3-N)-50*(N^2-N));
(%o2) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i3) factor(N^7-N-21*(N^6-N)+175*(N^5-N)-735*(N^4-N)+1624*(N^3-N)-1764*(N^2-N));
(%o3) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
・・・ あっている。
・合成数は、
４：N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
６：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
８：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)
=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
検算 右辺の因数分解の結果
(%i16) factor((N^4-N)-6*(N^3-N)+11*(N^2-N));
(%o16) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i17) factor((N^6-N)-15*(N^5-N)+85*(N^4-N)-225*(N^3-N)+274*(N^2-N));
(%o17) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i18) factor((N^8-N)-28*(N^7-N)+322*(N^6-N)-1960*(N^5-N)+6769*(N^4-N)
-13132*(N^3-N)+13068*(N^2-N));
(%o18) (N - 7) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
・・・ あっている。
さて、N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N) は、4の倍数であるが、
係数 6=2*3、11は4の倍数でない。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N) は、
6の倍数であるが、係数15=3*5、85=5*17、225=3^2*5^2、274=2*137 は、6の倍数でない。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)
=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
は、8の倍数であるが、係数28=2^2*7、322=2*7*23、1960=2^3*5*7^2、6769=7*967、
13132=2^2*7^2*67、13068=2^2*3^3*11^2 は8の倍数でない。
なぜ、このような違いが出るのだろう？不思議です。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年８月１日付け）
例えば、
N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));因数分解せよ
(%o5) - (a-1)(b-1)(c-1)
右辺の係数は、(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N) より、a+b+c と ab+bc+ac で
すが、これは前段階の N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN の係数と同じです。
つまり、ａ＋ｂ＋ｃ は、１＋２＋３で、これは左辺の積が素数個の場合ではありませんが、
素数個の場合は、ｃ＝ｐ－１となり、１＋２＋３＋･･･＋(ｐ－１) となり、＝ｐ(ｐ－１)/２で、ｐは
素数より、ｐの倍数になるという訳です。
ただし、(ab+bc+ac)以下の場合は証明出来ていません。（昨日やって諦めました。）
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月１日付け）
N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)
N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)
=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)
=N^6-(a+b+c+d+e)N^5+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)N^4
-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)N^3+(abcd+abce+abde+acde+bcde)N^2-Nabcde
=(N^6-N)-(a+b+c+d+e)(N^5-N)+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(N^4-N)
-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)(N^3-N)+(abcd+abce+abde+acde+bcde)(N^2-N)
Sのとき、
=N^S-N-(1+2+3+・・・+S-1){N^(s-1)-N}・・・・=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
ここで、Sが素数ならS-1は偶数。よって、{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で偶数なら、(s-1)は奇数で、s/2は2で割れて、sの倍数にならない。
ｓが合成数で奇数なら、(s-1)は偶数で2で割れて、{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で奇数なら、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}は、ｓの倍数になる。
．．．すこし、進歩。
さて、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}+{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}{N^(s-2)-N}・・・
そこで、{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・} より、
2*1+3*(1+2)+4*(1+2+3)+5*(1+2+3+4)・・・・+(s-1)*(1+2+3+4+・・・・+(s-2))}
．．．どうしたものか？
素数個の場合は、ｃ＝ｐ－１となり、１＋２＋３＋･･･＋(ｐ－１) となり、＝ｐ(ｐ－１)/２で、ｐは
素数より、ｐの倍数になるという訳です。
同じ結論になりました。ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年８月１日付け）
ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。
鋭い所に気付かれましたね。一応、奇数の合成数の場合も調べてみました。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)(N-9)(N-10)(N-11)(N-12)(N-13)(N-14) を展開
すると、
N^15−105N^14+5005N^13−143325N^12+2749747N^11−37312275N^10+368411615N^9
−2681453775N^8+14409322928N^7−56663366760N^6+159721605680N^5
−310989260400N^4+392156797824N^3−283465647360N^2+87178291200N
やはり、素数じゃないと成り立たないみたいですね。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月１日付け）
105/15=7で15の倍数ですが、5005=5x7x11x13は、15の倍数でないですね。
143325=3^2x5^2x7^2x13は、15の倍数ですね。2749747=7x11x13x41x67は、15の倍数でない
ですね。まあ、このへんでやめておきます。
15は係数がすべて15の倍数でないですね。つまり、15の倍数になれませんね。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月２日付け）
もう少し式を整理させました。
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
+ {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
- [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4
+ [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
- [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
+ abcdef N
規則正しくなってますが、これから得るものは、・・・・・？
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年８月２日付け）
さすが、うんざりはちべえさん、諦めませんね。
上記で、N^5の係数は解決しました。
(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab は、a=1、b=2、…、f=p-1（ｐは素数）で、それ
ぞれの括弧の右の数字は、括弧の最後の数字の次の数字になっているので、
ｆをｎ番目とすると、Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}n で求められます。
∴Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}n=Σ(n=1~p-1){n^2(n-1)/2}=(1/2)Σ(n=1~p-1)(n^3-n^2)
=(1/2)Σ(n=1~p-1)n^3－(1/2)Σ(n=1~p-1)n^2
=(1/2){p(p-1)/2}^2－(1/2){p(p-1)(2p-1)/6}=p^2(p-1)^2/8－p(p-1)(2p-1)/1
2=3p^2(p-1)^2/24－2p(p-1)(2p-1)/24=p(p-1){3p(p-1)-2(2p-1)}/24
=p(p-1)(3p^2-7p+2)/24=p(p-1)(p-2)(3p-1)/24
よって、係数は、p(p-1)(p-2)(3p-1)/24 で、ｐは素数より、ｐの倍数になる。
因みに、N^4の一番左の {(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f を同じ方法でやると、
(p-1)Σ(n=1~p-1){(n-2)(n-1)/2}(n-1)で、これを計算すると、
={(p-1)/2}[{p(p-1)/2}^2－４{p(p-1)(2p-1)/6}＋5p(p-1)/2－2(p-1)}
で、初めの３項は問題ありませんが、最後の項は、(p-1)^2で、素数になりません。
つまり、この分解方法ではダメみたいです。
念のため、この計算結果が正しい事は、
ｐ＝７とすると、５１０ となり、また、{(4+3+2+1)5+(3+2+1)4+(2+1)3+1・2}6=510
となる事から確認済みです。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月３日付け）
よって、係数は、p(p-1)(p-2)(3p-1)/24 で、ｐは素数より、ｐの倍数になる。
ｐが合成数で、24と素である場合、ｐの倍数になりませんかね？
ただし、(p-1)(3p-1) は、24の倍数。
ｐが合成数で、24と素である場合、ｐは２と３の倍数でないということで、
たとえば、最小は25ですが、(p-1)((3p-1) が (25-1)(75-1) で、24の倍数ですよね。
すると、N^24とN^23を突破します。N^22は、どうでしょう？順番に積み上げるしかありませ
んね。でも、24以下では正しいことが証明されました。前進です。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年８月３日付け）
ｐが合成数で、24と素である場合、ｐの倍数になりませんかね？
以前の「ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。」の時も思ったのですが、この
証明しようとしている法則は、多分、素数の場合しか成り立たないですよね。だから、素数以
外の合成数の場合は、全く考える必要がありません。
（多分、うんざりはちべえさんとは見る角度が違っていて誤解されていると思います。）
念のため、左辺の積の数が素数個の場合のみを考えて（証明しようとして）いるという事です。
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)は７個の積。（元に戻すとN(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)）
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月３日付け）
素数の場合しか成り立たない
として終わりにしますか？
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年８月３日付け）
ええ、そうしましょう。今回は色々と収穫がありましたね。
＜うんざりはちべえと壊れた扉の定理１＞
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)} は、必ず
(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-3)(N^3-N)+a(s-2)(N^2-N)
の形に変形出来、右辺の係数の符号は±交互になり、その総和は(-1)^S・(S-1)!になる。
＜うんざりはちべえと壊れた扉の定理２＞
１～ｐ－１までのｐ－１個の自然数の全ての２個の組み合わせの積の総和は、ｐの倍数に
なる。ただし、ｐ≧５
例えば、ｐ＝５の場合、1・2＋1・3＋1・4＋2・3＋2・4＋3・4＝３５で５の倍数。
ｐ＝７の場合、
1・2＋1・3＋1・4＋1・5＋1・6＋2・3＋2・4＋2・5＋2・6＋3・4＋3・5＋3・6＋4・5＋4・6＋5・6
＝175＝25・7 で、７の倍数。
＜うんざりはちべえと壊れた扉の予想＞
１～ｐ－１までのｐ－１個の自然数の全ての２～ｐ－２個の組み合わせの積の総和はｐの
倍数になる。
例えば、ｐ＝７の場合のｐ－２個の場合、
1・2・3・4・5＋1・2・3・4・6＋1・2・3・5・6＋1・2・4・5・6＋1・3・4・5・6＋2・3・4・5・6
＝120＋144＋180＋240＋360＋720＝1764＝252・7 で、７の倍数。
よって、ｐの倍数になる。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月１９日付け）
前回までは、合成数では、計算上では正しいのですが、理屈では、右辺と左辺の倍数が等
しくなりませんでした。そこで、解決できました。
等比級数の和の公式より、 N^s-1=(N-1){1+N+N^2+n^3+・・・・+N^(s-2)+N^(s-1)}------(1)
さて、s=4 のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)-----(2)
=N(N^3-1)-6N(N^2-1)+11N(N-1)
であるから、(1)より、
=N{(N-1)(1+N+N^2)-6(N-1)(1+N)+11(N-1)}
=N(N-1){(1+N+N^2)-6(1+N)+11}
=N(N-1){(1+N+N^2-6-6N+11}
=N(N-1){(N^2-5N+6}
=N(N-1)(N-2)(N-3) ・・・ これより、(2)の右辺は左辺に等しい。
さて、s=6 のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)
=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)------(3)
であるから、(1)より、
=N(N^5-1)-15N(N^4-1)+85N(N^3-1)-225N(N^2-1)+274N(N-1)
=N(N-1){(1+N+N^2+N^3+N^4)-15(1+N+N^2+N^3)+85(1+N+N^2)-225(N+1)+274}
=N^4-14N^3+71N^2-154N+120
=N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5) ・・・ これより、(3)の右辺は左辺に等しい。
さて、s=8 のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)
=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)------(4)
であるから、(1)より、
=N{(N^7-1)-28(N^6-1)+322(N^5-1)-1960(N^4-1)+6769(N^3-1)-13132(N^2-1)+13068(N-1)}
=N(N-1){(1+N+N^2+N^3+N^4+N^5+N^6)-28(1+N+N^2+N^3+N^4+N^5)+322(1+N+N^2+N^3+N^4)
-1960(1+N+N^2+N^3)+6769(1+N+N^2)-13132(1+N)+13068}
=N^6-27N^5+295N^4-1665N^3+5104N^2-8028N+5040
=N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7) ・・・ これより、(4)の右辺は左辺に等しい。
よって、Sが自然数のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}
=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
は、s が合成数でも成り立つ。
つまり、なぜ理屈が間違うかというと、右辺は、s が合成数の場合、(N^t-N) {ただし、tはs以
下のすべての自然数}の係数が s の倍数にならないというのが、前回の結論でした。
ただし、(N^t-N) が t の倍数としたら、成り立つようです。
(%i1) factor(4-6*3+11*2);
(%o1) 2^3=4X2
(%i2) factor(6-15*5+85*4-225*3+274*2);
%o2) 2^4 3^2=6^2x2^2
(%i3) factor(8-28*7+322*6-1960*5+6769*4-13132*3+13068*2);
(%o3) 2^7 3^3 5=8x2^4x3^3x5
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年８月１９日付け）
よって、Sが自然数のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}
=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
は、s が合成数でも成り立つ。
これは、前回、自分で証明されましたよね。
「因みに、何次でも-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)N
の部分はNの項になり、解と係数の関係と同じで±が交互になり、必ず
±(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)…と因数分解でき、ａ＝１より、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}
=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
の形に出来るのですね。」
このＳには合成数とか素数とか制限がないので、一般のＳで成り立つという事ですね。
つまり、なぜ理屈が間違うかというと、右辺は、s が合成数の場合、(N^t-N) {ただし、tはs以
下のすべての自然数}の係数が s の倍数にならないというのが、前回の結論でした。
理屈は間違っていないと思います。一応、前回のものを挙げておきますね。
等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。ところが、合成数のとき、
左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。
この右辺が ｘ だけでつながった式ならおかしいですが、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N) は
和と差でつながっているのでおかしくありません。確か、NHKの番組でも掛け算は簡単です
が足し算は難しいというような話をやっていましたよね。それと同じ事です。
ただし、(N^t-N) が t の倍数としたら、成り立つようです。
(%i1) factor(4-6*3+11*2);
(%o1) 2^3=4X2
(%i2) factor(6-15*5+85*4-225*3+274*2);
%o2) 2^4 3^2=6^2x2^2
(%i3) factor(8-28*7+322*6-1960*5+6769*4-13132*3+13068*2);
(%o3) 2^7 3^3 5=8x2^4x3^3x5
これは、DD++さんが発見した、N^561-Nは５６１の倍数という合成数561でやってみて下さ
い。多分、ダメですよ。（多分の所は証明してありますが、今回は省略します。）
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月１９日付け）
s=561ですか？
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・(N-560)=(N^561-N)-a1(N^560-N)+a2(N^559-N)・・・・a561(N^2-N)
とてもそんな計算は無理です。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年８月１９日付け）
ええ、私も以前はあきらめていましたが、DD++さんは凄いですよね。
WolframAlpha：Table[(N^561-N)mod561,{N,2,30}]
python とかと違って桁違いの計算力なんですね。因みに、今回のに使えるかどうかは全く
考えていません。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年８月１９日付け）
DD++さんの計算は、N=2〜30において、(N^561ーN) mod 561を求めるものです。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年８月１９日付け）
よく見ると、以前とは違う法則ですね。
つまり、なぜ理屈が間違うかというと、右辺は、s が合成数の場合、(N^t-N) {ただし、tはs以
下のすべての自然数}の係数が s の倍数にならないというのが、前回の結論でした。
ただし、(N^t-N) が t の倍数としたら、成り立つようです。
(%i1) factor(4-6*3+11*2);
(%o1) 2^3=4X2
(%i2) factor(6-15*5+85*4-225*3+274*2);
%o2) 2^4 3^2=6^2x2^2
(%i3) factor(8-28*7+322*6-1960*5+6769*4-13132*3+13068*2);
(%o3) 2^7 3^3 5=8x2^4x3^3x5
s=4 のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)-----(2)
=N(N^3-1)-6N(N^2-1)+11N(N-1)
s=6 のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)
=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)------(3)
であるから、(1)より、
=N(N^5-1)-15N(N^4-1)+85N(N^3-1)-225N(N^2-1)+274N(N-1)
s=8 のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)
=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)------(4)
であるから、(1)より、
=N{(N^7-1)-28(N^6-1)+322(N^5-1)-1960(N^4-1)+6769(N^3-1)-13132(N^2-1)+13068(N-1)}
以前と違って、係数に指数をかけて総和を取っているのですね。
以下、工事中！
