魔方陣は、

�@ １〜N² までの数字を使って、
�A 縦、横、斜めの和が等しい。

　�@の条件を無しにして、「全て ０」、「全て１」も魔方陣と呼ぶのが拡大魔法陣の意味です。

　そうすると、どの数でも、拡大魔方陣に普通の行列の和と、スカラー倍により、線形空間
が作れます。

　その時、３×３の場合は、３文字で作れるので、３次元。

[[M＋A    M−A−B  M＋B   ],
 [M−A＋B    M     M＋A−B],
 [M−B    M＋A＋B  M−A   ]]

　４×４の拡大魔方陣の次元は、いくつでしょうか？


（コメント）　上記の確かめを行いました。

[[ａ ｂ ｃ],
 [ｄ ｅ ｆ],
 [ｇ ｈ ｉ]]

　上記の魔方陣において、　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ＝Ｓ　、縦、横、斜めの和をＴ

とおくと、条件より、　Ｓ＝３Ｔ　、Ｓ＋３ｅ＝４Ｔ　なので、　Ｔ＝３ｅ

　そこで、ｅ＝Ｍ　とおく。　・・・　（第一の変数Ｍ）　このとき、Ｔ＝３Ｍ　である。

　そこで、ａ＝Ｍ＋Ａ　、ｃ＝Ｍ＋Ｂ　とおく。　・・・　（第二の変数Ａ　、第三の変数Ｂ）

このとき、　ｂ＝Ｔ−（ａ＋ｃ）＝Ｍ−Ａ−Ｂ　と定まる。

　ｂ＋ｈ＝２Ｍ　より、　ｈ＝２Ｍ−ｂ＝Ｍ＋Ａ＋Ｂ

　ａ＋ｉ＝２Ｍ　より、　ｉ＝２Ｍ−ａ＝Ｍ−Ａ

　ｃ＋ｇ＝２Ｍ　より、　ｇ＝２Ｍ−ｃ＝Ｍ−Ｂ

　ａ＋ｄ＋ｇ＝３Ｍ　より、　ｄ＝３Ｍ−ａ−ｇ＝Ｍ−Ａ＋Ｂ

　ｃ＋ｆ＋ｉ＝３Ｍ　より、　ｆ＝３Ｍ−ｃ−ｉ＝Ｍ＋Ａ−Ｂ

　なるほど、確かに、３変数で表されますね！


　りらひいさんからのコメントです。（令和５年７月３０日付け）

　n≧3のとき、n(n-2)次元になると思います。なので、4×4のときは8次元です。

一例：

[[M+A+K   M+P     M-A-B-P     M+B-K      ],
 [M+Q     M+C-K   M+D+K       M-C-D-Q    ],
 [M-A+B-Q M-D+K   M-C-K       M+A-B+C+D+Q],
 [M-B-K   M-C+D-P M+A+B+C-D+P M-A+K      ]]


（コメント）　りらひいさん、見事ですね！感動しました。



　　以下、工事中！