k 桁の自然数の各位の和が n となる個数を P_n(k) とする。

　１＜k＜n　の時、P_n(k) の最大値を求めよ。

　解き方が分かりません、よろしくお願いします。


　DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月１４日付け）

・ n を固定して、k を変化させたときの最大値

・ k を固定して、n を変化させたときの最大値

この２つの意味に取れますが、前者でいいんですかね？

　k 桁の自然数で、各位の数の和が n で、かつ、「一の位が 0 である」個
数を Qn(k) とします。

(1) 2＜k＜n の範囲で、P_n(k-1) と Q_n(k) の関係は？

(2) 1＜k＜n の範囲で、P_n(k) と Q_n(k) はどちらが大きい？

(3) 2＜k＜n の範囲で、P_n(k-1) と P_n(k) はどちらが大きい？

(4) 1＜k＜n の範囲で、P_n(k) が最大になるのは k がいくつのとき？

(5) n＜10 の範囲で、(4) のときの P_n(k) の値は？

---- ここまで簡単、ここから難問 ----

(6) n≧10 の範囲で、(4) のときの P_n(k) の値は？


（コメント）　２桁のとき、各位の数の和の個数は、「A289642」によれば、

1：1　、2：2　、3：3　、4：4　、5：5　、6：6　、7：7　、8：8　、9：9　、10：9　、11：8

12：7　、13：6　、14：5　、15：4　、16：3　、17：2　、18：1

　３桁のとき、各位の数の和の個数は、「A071817」によれば、

1：1　、2：3　、3：6　、4：10　、5：15　、6：21　、7：28　、8：36　、9：45　、10：54

11：61　、12：66　、13：69　、14：70　、15：69　、16：66　、17：61　、18：54

19：45　、20：36　、21：28　、22：21　、23：15　、24：10　、25：6　、26：3

27：1

　４桁のとき、各位の数の和の個数は、「A090579」によれば、

1：1　、2：4　、3：10　、4：20　、5：35　、6：56　、7：84　、8：120　、9：165

10：219　、11：279　、12：342　、13：405　、14：465　、15：519　、16：564

17：597　、18：615　、19：615　、20：597　、21：564　、22：519　、23：465

24：405　、25：342　、26：279　、27：219　、28：165　、29：120　、30：84

31：56　、32：35　、33：20　、34：10　、35：4　、36：1


　以上をもとに、

(1) 2＜k＜n の範囲で、P_n(k-1) と Q_n(k) の関係は？　→　P_n(k-1) ＝ Q_n(k)

(2) 1＜k＜n の範囲で、P_n(k) と Q_n(k) はどちらが大きい？　→　P_n(k) ＞ Q_n(k)

(3) 2＜k＜n の範囲で、P_n(k-1) と P_n(k) はどちらが大きい？　→　P_n(k-1) ＜ P_n(k)

(4) 1＜k＜n の範囲で、P_n(k) が最大になるのは k がいくつのとき？　→　k＝ｎ−１

(5) n＜10 の範囲で、(4) のときの P_n(k) の値は？　→　（工事中）



　　以下、工事中！