ネタとして面白そうです。分母を素因数分解したときに現れる素数が、一桁の 2、3、5、7
に抑えられているのも興味深いです。
上は、知人が論文から拾ってきたようです。こういうのを使ってコンペに応募したら、いい
とこいくんですかね？
コンペに応募するとして……、例えば、分母を 2023 以下に抑えつつ、項数をできるだけ
多くする作戦がありえますね。
1 = 1/16+1/6+1/10+1/12+1/14+1/18+1/20+1/22+1/24+1/28+1/36+1/40+1/44+1/48
+1/56+1/66+1/70+1/72+1/80+1/88+1/90+1/110+1/112+1/132+1/140+1/144+1/154
+1/176+1/180+1/210+1/220+1/264+1/280+1/308+1/360+1/420+1/440+1/528+1/560
+1/616+1/720+1/840+1/880+1/1232+1/1680
上は 45 項ですが、見ればただちにお判りになるように、まだまだ項数は増やせそうです。
電卓などを補助に手計算で作りましたので、根性が足らずに途中で挫折しました。とほほ。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年４月２８日付け）
(1/2)2 = (1/3)2+(1/4)2+(1/5)2+(1/7)2+(1/12)2+(1/15)2+(1/20)2+(1/28)2+(1/35)2
をよく探したものだと感心したので、(1/3)^2 を調査してみた。
gp > V1=[4,6,9,15,20,36,45,60];
gp > V2=[4,6,12,13,15,20,39,52];
gp > V3=[4,6,12,14,15,20,28,42];
gp > V4=[5,6,7,10,14,15,21,30];
らに対しては、全て
gp > vecsum(apply(i->1/i^2,V1))
%56 = 1/9
gp > vecsum(apply(i->1/i^2,V2))
%57 = 1/9
gp > vecsum(apply(i->1/i^2,V3))
%58 = 1/9
gp > vecsum(apply(i->1/i^2,V4))
%59 = 1/9
となり、(1/3)^2 を構成してくれるようです。
検索ではなく、何とか構成式を見つけることは出来ないんでしょうかね？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年４月２９日付け）
GAI さん、たくさん計算してくださってまことにありがとうございました。見ているだけで不可
思議な幸せな気持ちになります。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年５月１日付け）
知人に、件の論文のありかを尋ねておりまして、回答が来ました。
An algorithm for Egyptian fraction representations with restricted denominators
分母の大きさを押さえる方向で、単位分数の和とするにはどういうアルゴリズムがよいの
か、といった論文のようです。
関数型プログラミング言語だと移植しやすいのかなあと思いました。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年６月３０日付け）
2/65 を２つの単位分数の和として表現する方法が何通りあるのかについて皆さんに伺い
たいと存じます。twitter という名前のついた清濁併せ持つガンジス川に、ドンブラコと流れて
きた tweet に触発された問いです。なんとなくですが、少なくとも 5 通り以上はあるかもです。
間違っていたらごめんなさい。もっとありますかね？
恒等式 2/(a*(2*b -a)) = 1/(a*b) +1/(b*(2*b -a)) から、
(a, b) = (1, 33) or (5, 9) or (13, 9) or (65, 33)
の 4 通り。上記に当てはまらないもの： 2/65 = 1/35 +1/455
らすかるさんからのコメントです。（令和６年６月３０日付け）
４通りに見えますが、代入すると、
2/65=1/33+1/2145 、2/65=1/45+1/117 、2/65=1/117+1/45 、2/65=1/2145+1/33
となりますので、２通りしかないですね。他には、
2/65=1/39+1/195 と 2/65=1/65+1/65
があって、計５通りです。
恒等式の分母に c を掛けて、
2/(a*(2*b-a)*c)=1/(a*b*c)+1/(b*(2*b-a)*c)
とすれば、
(a,b,c)=(1,33,1) → 2/65=1/33+1/2145
(a,b,c)=(1,7,5) → 2/65=1/35+1/455
(a,b,c)=(1,3,13) → 2/65=1/39+1/195
(a,b,c)=(5,9,1) → 2/65=1/45+1/117
(a,b,c)=(1,1,65) → 2/65=1/65+1/65
のように全解が出てきますね。因みに、項の入れ替えは、
(a,b,c)=(5,3,13) → 2/65=1/195+1/39
(a,b,c)=(13,7,5) → 2/65=1/455+1/35
(a,b,c)=(13,9,1) → 2/65=1/117+1/45
(a,b,c)=(65,33,1) → 2/65=1/2145+1/33
のようになります。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年６月３０日付け）
おおっ！！EXCELLENT！
DD++ さんからのコメントです。（令和６年６月３０日付け）
2/65 = 1/x + 1/y より、 2xy = 65x + 65y 即ち、 (2x-65)(2y-65) = 65^2
x、y の少なくとも一方は 65 以上であることから、左辺が負の数同士の積になることはな
いので、 2x-65 =「65^2 の正の約数」 を全て解いていけば、 5 種 9 個の解が得られます。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年６月３０日付け）
DD++さん、とても格好いいです。感服しました。
（コメント） ２ｘ−６５＝１、５、５2、１３、１３2、５・１３、５2・１３、５・１３2、５2・１３2 より、
２ｘ＝６６、７０、９０、７８、２３４、１３０、３９０、９１０、４２９０
よって、 ｘ＝３３、３５、４５、３９、１１７、６５、１９５、４５５、２１４５
このとき、 ２ｙ−６５＝４２２５、８４５、１６９、３２５、２５、６５、１３、５、１ より、
ｙ＝２１４５、４５５、１１７、１９５、４５、６５、３９、３５、３３
以上から、
２/６５＝１/３３＋１/２１４５ 、２/６５＝１/３５＋１/４５５ 、２/６５＝１/４５＋１/１１７ 、
２/６５＝１/３９＋１/１９５ 、２/６５＝１/１１７＋１/４５ 、２/６５＝１/６５＋１/６５ 、
２/６５＝１/１９５＋１/３９ 、２/６５＝１/４５５＋１/３５ 、２/６５＝１/２１４５＋１/３３
すなわち、相異なるものは、次の５通りである。
２/６５＝１/３３＋１/２１４５ 、２/６５＝１/３５＋１/４５５ 、２/６５＝１/４５＋１/１１７ 、
２/６５＝１/３９＋１/１９５ 、２/６５＝１/６５＋１/６５
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年７月２日付け）
2/65 = 1/33+1/2145 = 1/35+1/455 = 1/39+1/195 = 1/45+1/117 = 1/65+1/65
と、2/65 の単位分数分解が５通りもあることから、一般に、
ａ、ｎ を自然数として、 a/n = 1/x + 1/y (なお、x≦y、3≦n＜100、2≦a≦n-1) となる自
然数 x、y が存在する分数 a/n が最も多くのパターンを持つのは何か？
また、100≦n＜1000 の範囲なら何の分数か？を問う。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年７月２日付け）
変形すると、(ax-n)(ay-n)=n^2 となり、a は小さいほうが良い（解が多くなる）と思われます
ので、a=2 とします。
すると、n は奇数限定ですから、「約数の多い奇数」が良さそうです。
100未満で約数が多い奇数は、45、63、75、99 （いずれも n^2 の約数は15個）なので、お
そらく 2/45、2/63、2/75、2/99 が解が多い(解は、(15+1)/2=8個)と予想されます。
同様に考えると、100以上1000未満では、3^3*5*7=945の約数の個数が63で最多なので
2/945 が最多（解は、(63+1)/2=32個）となることが予想されます。
その後プログラムを作って確認したところ、確かにこれらが最多でした。
さらに10000未満にすると、
3^2*5*7*11=3465, 3^2*5*7*13=4095, 3^2*5*7*17=5355, 3^2*5*7*19=5985,3^2*5*7*23=7245,
3^2*5*7*29=9135, 3^2*5*7*31=9765, 3^2*5*11*13=6435,3^2*5*11*17=8415, 3^2*5*11*19=9405,
3^2*5*13*17=9945, 3^2*7*11*13=9009,3*5^2*7*11=5775, 3*5^2*7*13=6825, 3*5^2*7*17=8925,
3*5^2*7*19=9975,3*5*7^2*11=8085, 3*5*7^2*13=9555
(4+1)(2+1)^3=135
(135+1)/2=68
から
2/3465,2/4095,2/5355,2/5775,2/5985,2/6435,2/6825,2/7245,2/8085,2/8415,2/8925,2/9009,
2/9135,2/9405,2/9555,2/9765,2/9945,2/9975
の18通りで、解が68個となるのが最多、100000未満では、
3^2*5*7*11*13=45045, 3^2*5*7*11*17=58905, 3^2*5*7*11*19=65835,3^2*5*7*11*23=79695,
3^2*5*7*13*17=69615, 3^2*5*7*13*19=77805,3^2*5*7*13*23=94185, 3*5^2*7*11*13=75075,
3*5^2*7*11*17=98175,
(4+1)(2+1)^4=405
(405+1)/2=203
から
2/45045,2/58905,2/65835,2/69615,2/75075,2/77805,2/79695,2/94185,2/98175
の9通りで、解が203個となるのが最多（いずれも確認済み）ですね。
1000000未満では、
3^2*5*7*11*13*17=765765, 3^2*5*7*11*13*19=855855
(4+1)(2+1)^5=1215
(1215+1)/2=608
から
2/765765,2/855855の2通りで、解が608個となるのが最多となりそうですが、これは未確認
です。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年７月２日付け）
2/765765=1/x+1/y (x≦y) を満たす[x,y]を調べてみました。
M=[[765765], [382883, 293198400495], [382884, 97733055420], [382885, 58639986405],
[382886, 41885813970], [382887, 32577940395], [382888, 26654748120], [382889, 22554076545],
[382890, 19546917390], [382891, 17247325095], [382893, 13962193245], [382895, 11728303587],
[382896, 10859568720], [382899, 8885171295], [382900, 8377469100], [382902, 7518280770],
[382905, 6515894385], [382907, 5984015895], [382908, 5749363620], [382910, 5331255930],
[382914, 4654319670], [382915, 4511121615], [382920, 3909689784], [382921, 3808149345],
[382923, 3620111495], [382925, 3449771325], [382928, 3222339120], [382932, 2961979020],
[382935, 2792744955], [382941, 2506348845], [382942, 2464231770], [382943, 2423506995],
[382950, 2172220050], [382954, 2050718670], [382956, 1994927220], [382959, 1916709795],
[424710, 3887730], [425425, 3828825], [425799, 3798795], [425880, 3792360], [427245, 3687453],
[427350, 3679650], [427635, 3658655],
････････････････
[626535, 984555], [630630, 974610], [634270, 966042], [634865, 964665], [636480, 960960],
[638495, 956403], [645150, 941850], [645645, 940797], [647955, 935935], [651508, 928620],
[654381, 922845], [656370, 918918], [658944, 913920], [659022, 913770], [661045, 909909],
[663663, 904995], [664020, 904332], [666666, 899470], [668745, 895713], [675495, 883883],
[675675, 883575], [680680, 875160], [683298, 870870], [692835, 855855], [693420, 854964],
[696150, 850850], [701415, 843115], [701505, 842985], [706095, 836451], [706860, 835380],
[711620, 828828], [714714, 824670], [717145, 821457], [718263, 819995], [720720, 816816],
[726495, 809523], [729729, 805545], [734825, 799425], [737919, 795795], [740520, 792792],
[740740, 792540], [743886, 788970], [749190, 783090], [750057, 782145], [753984, 777920],
[759330, 772310]] #M=608
全部をアップしようとしたら、10000字を越えましたのでアップを中止しますの警告が出たの
で途中ずいぶんの部分を省略しました。
2/855855も確認しました。総当たりで検索していたのでこんな範囲まで考えが及びません
でした。
らすかるさんからのコメントです。（令和６年７月２日付け）
その後、1000000未満では、2/765765、2/855855の608個が最多であることは確認できました。
そして、ついでに、10000000未満も調べました。10000000未満では、
3*5*7*11*13*17*19=4849845, 3*5*7*11*13*17*23=5870865, 3*5*7*11*13*17*29=7402395,
3*5*7*11*13*17*31=7912905, 3*5*7*11*13*17*37=9444435, 3*5*7*11*13*19*23=6561555,
3*5*7*11*13*19*29=8273265, 3*5*7*11*13*19*31=8843835, 3*5*7*11*17*19*23=8580495
(2+1)^7=2187
(2187+1)/2=1094
3^4*5*7*11*13*17=6891885, 3^4*5*7*11*13*19=7702695, 3^4*5*7*11*13*23=9324315
(8+1)(2+1)^5=2187
(2187+1)/2=1094
から
2/4849845,2/5870865,2/6561555,2/6891885,2/7402395,2/7702695,2/7912905,2/8273265,
2/8580495,2/8843835,2/9324315,2/9444435
の12通りで、解が1094個となるのが最多（確認済み）です。
**************************************
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年７月１日付け）
ヒッパルコスによる業績をもとに、プトレマイオスは 1 回帰年の長さを
365 +1/4 -1/300 (単位は日数)
としていたとのです。エジプト式分数の流れを汲んでいた模様で、整数と単位分数とで表現
しているのですね。
但し、一般にエジプト分数では単位分数の和としているのに対して、プトレマイオスによる
回帰年の長さでは、単位分数を減算する操作を許しているようではあります。
以上を踏まえまして、今回は、円周率(の近似値)を自然数と単位分数との加減算で表現
してみます。すなわち、
π ≒ 3 +1/7 -1/791
第二項までで打ち切りますと、有名な有理数近似値 22/7 と等しく、第三項までを計算し
ますと、これもまた有名な有理数近似値 355/113 と等しくなります。面白いことです。
文献上では知られていないだけで存外、3 +1/7 -1/791 は、ひょっとして古代でもあるい
は知られていたのではなかろうかと夢想してみたくもなります。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年７月３日付け）
そこで、いっそのこと
S=[1,1,1,7,-791,-3740526,1099482930,-2202719155,6600663644,-26413901692,96840976853,
-496325469560,2346251883960,-44006595799206,･･･]
として、
gp > for(n=4,14,print1(sum(k=1,n,1/S[k])","))
22/7,355/113,103993/33102,104348/33215,208341/66317,312689/99532,833719/265381,
1146408/364913,4272943/1360120,5419351/1725033,80143857/25510582,
と円周率πの近似分数 (「A002485」/「A002486」)が並んでいける。
(収束スピードは遅いが･･･)
「A006784」には収束が速そうなものが載っています。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年７月２日付け）
πのエジプト式分数による近似。減算を許さなければ以下のようになると「A001466」が教
えてくれました。
3+1/8+1/61+1/5020+1/128541455+1/162924332716605980
+1/28783052231699298507846309644849796
+1/871295615653899563300996782209332544845605756266650946342214549769447
+………
月に宇宙船を着陸させたアポロ計画でも、計算には 3.1416 を使っていたらしいので、工学
的な実用上では、3+1/8+1/61+1/5020 でも広い範囲で充分であることかと。
やはり減算を許したほうが《収束？は速い》ようで。分母が大きくなる速さが……
3 +1/7 -1/791 -1/3748629 +1/151648960887729 -1/1323497544567561138595307148089
+1/41444465282455711991644958522615049159671653083333293470875123 ………
「A001467」より。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年７月３日付け）
■交代級数のように単位分数をかわるがわる足したり引いたりをして円周率の近似値を表
してみます。
※いくらでも項数の多いものが作れるそうですがそこまでは……
π ≒ 3 +1/7 -1/784 +1/90160 -1/14155120 +1/5265704640 -1/2274784404480
= 1429289194723/454956880896 ≒ 3.14159265359
……が得られます。
■求め方 「A061233」を参考にしました。
PARI/gp を利用しましたが、「A061233」に書かれているプログラムはよくわからなかった
ので以下のものを使いました。
(PARI)? r=1/(4-Pi) ; for(n=1, 6, r=r/(r-floor(r)); print1(floor(r), ", "))
出力は、 7, 112, 115, 157, 372, 432, でした。これから、次のようにします。
π≒ 4 -1/1 +1/7 -1/(7*112) +1/(7*112*115) -1/(7*112*115*157) +1/(7*112*115*157*372)
-1/(7*112*115*157*372*432)
= 3 +1/7 -1/784 +1/90160 -1/14155120 +1/5265704640 -1/2274784404480
= 1429289194723/454956880896 ≒ 3.14159265359
Android スマホ用の PARI のアプリをみつけたのでお試しに使いたくなり、上のように遊ん
でみました。
上記で、交代級数の単位分数の一般項は定め難いものがあります。ところが、ごく簡単な
一般項を持ち得ると知って、PARI/GP で確認してみました。以下が対話です。↓↓↓
? \p 300
realprecision = 308 significant digits (300 digits displayed)
? A = 3 +sumalt(n=1,((-1)^(n+1))/(n*(n+1)*(2*n+1)))
%1 = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640
62862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081
28481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475
64823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127
? B = Pi - A
%2 = 0.E-307
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年７月４日付け）
このパターンは初めてみました。（確かに覚えやすい。）調べてみると初めの3も含め
48*sumalt(n=0,(-1)^n/((6*n+1)*(6*n+3)*(6*n+5)))
によってもπが構成されるみたいですね。互い違いの力って大きいですね。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年７月４日付け）
GAI さん。1/((6*n+1)*(6*n+3)*(6*n+5)) こちら、私、初見です。不思議な形ですね……
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年７月７日付け）
48*(1/(1*3*5)-1/(7*9*11)+1/(13*15*17)-1/(19*21*23)+1/(25*27*29)-1/(31*33*35))
-4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23+1/25-1/27+1/29-1/31
+1/33-1/35)
= 248269474984/4512611027925≒ 0.0550168125388
項数を増やしていくと、0 に収束する気配を感じますが、証明ができないでおります。
DD++ さんからのコメントです。（令和６年７月９日付け）
48/((6k+1)(6k+3)(6k+5)) = { 6/(6k+1) - 6/(6k+3) + 6/(6k+5) } - 2/(2k+1)
と変形すれば、これの交代無限級数が、
6*(π/4) - 2*(π/4) = π
と 2 組のライプニッツ級数で計算できますね。
それぞれの級数は絶対収束するわけではないので、取り扱いに少し注意が必要ですが。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年７月９日付け）
DD++ さん、ありがとうございました！
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和６年７月１６日付け）
DD++ さんが仰ることを、どうやって正当化すればよいのかわからなかったので、
f(x) = 6*arctan(x) -2*arctan(x^3)
をテーラー展開して、３項ずつ区切ることで、なんとかなりそうと思いました。
f(x) = (6*x-4*x^3+(6*x^5)/5)-((6*x^7)/7-(4*x^9)/3+(6*x^11)/11)
+((6*x^13)/13-(4*x^15)/5+(6*x^17)/17)-((6*x^19)/19-(4*x^21)/7+(6*x^23)/23)+……
= (6*x-(12*x^3)/3+(6*x^5)/5)-((6*x^7)/7-(12*x^9)/9+(6*x^11)/11)
+((6*x^13)/13-(12*x^15)/15+(6*x^17)/17)-((6*x^19)/19-(12*x^21)/21+(6*x^23)/23)+……
あとは、6*k+1, 6*k+3, 6*k+5 をうまく使ってやって整理しておいて、最後に x=1 としてやりま
す。
DD++ さんからのコメントです。（令和６年７月１７日付け）
そこが難しいところで、級数が絶対収束しないので、和の順序入れ替え不可なのです……。
マクローリン展開の第 n 項までの和を不等式評価し、挟み撃ちする感じになりますね。
以下、工事中！
