sin^2(π/3)=3/4 、sin^2(π/5)+sin^2(2π/5)=5/4 、・・・
そこで、素数を 2K+1 として、100以下の素数で
Σj=1k sin^2(j π/(2k+1))=(2k+1)/4
が成り立ちました。これが、破綻しなければ、素数には規則性があると言えるのはないでしょ
うか？
103で、無料版の計算時間を超えました。残念。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年４月２５日付け）
2 以外の任意の素数で成り立つことが簡単に示せますが、それが素数の出現の規則性と
どう関係があるんでしょう？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年４月２５日付け）
Σj=1k sin^2(j π/(2k+1))=(2k+1)/4 と表せるという規則性です。現段階で、出現の予測は
判明しておりません。
あれ、素数でなくても、そうなるのか・・・・・
合成数 95 のときは、1/4｛95+2sin・・・・のように、1/4の横に、95とすぐ現れるが、素数 97
の場合、-2cosの項があって-588＋・・・となるようだ。合成数 87 のときは、1/4｛87+2sin・・・・
のように、1/4の横に、87とすぐ現れる。（→ 参考）
（コメント） 手計算で、 「sin^2(π/5)+sin^2(2π/5)=5/4」 を追認してみました。
sin^2(π/5)+sin^2(2π/5)
=(1/2)(1-cos(2π/5))+(1/2)(1-cos(4π/5))
=1-(1/2)(cos(2π/5)+cos(4π/5)
=1-cos(π/5)cos(3π/5)
π/5=θ とおくと、 5θ=π より、 cos3θ=cos（π-2θ)=-cos2θ
よって、 4cos^3θ-3cosθ=-2cos^2θ+1 より、 4cos^3θ+2cos^2θ-3cosθ-1=0
(cosθ+1)(4cos^2θ-2cosθ-1)=0 から、 cosθ=(1+
)/4このとき、 cos3θ=(1-
)/4 なので、sin^2(π/5)+sin^2(2π/5)=1-(1+
)/4・(1-)/4=1-(-1/4)=5/4となり、確認できました。
以下、工事中！
