・　ある数の性質２　　　 　　 　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　自然数 ｎ に対して、６ｎ²−６ｎ＋１ が平方数になるとき、とても面白い性質を持つらしい。
自然数 ｍ を用いて、　６ｎ²−６ｎ＋１＝ｍ²　と書けるわけだが、

　　　　３ｍ²＋２＝１８ｎ²−１８ｎ＋５＝(３ｎ−２)²＋(３ｎ−１)²
　　　　３ｍ²＋２＝(ｍ−１)²＋(ｍ)²＋(ｍ＋１)²

と式変形できるので、一つの数が２〜３個の連続する自然数の平方の和として表せること
が分かる。

　このような性質を持つ（ ｎ ， ｍ ）の組としては、
　　（ １ ， １ ）　、　（ ５ ， １１ ）　、　（ ４５ ， １０９ ）
が知られている。

　したがって、　　５＝１²＋２²＝０²＋１²＋２²
　　　　　　　　３６５＝１３²＋１４²＝１０²＋１１²＋１２²
　　　　　　３５６４５＝１３３²＋１３４²＝１０８²＋１０９²＋１１０²

と表せる。

（参考文献：　藤村幸三郎、田村三郎　著　　数学歴史パズル　　（講談社））

　上記文献では、上記の例に止まっているが、とても面白い性質なので、もう少し求めてみ
ようという気になった。

　表計算ソフト Ｅｘｃｅｌ の ＶＢＡ を用いて、ｍの値が１００万まで計算させてみると、見かけ
上 ｎ と ｍ が自然数になるものは、計８０組あることが分かった。

　使用した表計算ソフト Ｅｘｃｅｌ の マクロは下記の通り。

Sub 平方根()
Dim m, a As Integer
Dim n As String
Dim r, nn As Single
Range("a2").Select
For m = 1 To 1000000
With ActiveCell
.Select
n = "=(3+sqrt(" & 3 + 6 * m * m & ")" & ")/6"
ActiveCell.Formula = n
nn = ActiveCell.Value
.Offset(0, 1).Value = m
r = nn - Int(nn)
If r > -1E-30 And r < 1E-30 Then
.Offset(1, 0).Select
Else
.Offset(0, 0).Select
End If
End With
Next m
End Sub

　Ｅｘｃｅｌ　を起動し、[ツール]−[マクロ]−[Ｖｉｓｕａｌ　Ｂａｓｉｃ　Ｅｄｉｔｏｒ]　とクリックして、Ｅｄｉｔｏｒ
を起動し、[挿入]−[標準モジュール]　を選択して、上記を記述して、実行してみてください。

　最初、６ｎ²−６ｎ＋１ の平方根で検出しようとしたら、Ｅｘｃｅｌがすぐオーバーフローしてしま
い、ｎ＝４５の解までしか求めることができなかった。上記はオーバーフローがない形に改良
したものである。

　実行してみると分かるが、無駄な計算結果が非常に多かった。また、制御が上手くいかず
もしかしたら解でない場合も上記に入っているかもしれない。どなたかに、検証をお願いした
いところです。

（追記）　らすかるさんが早速検証された結果、上記の表は「かなり違う！」とのことである。
　　　　例えば、　６ｎ²−６ｎ＋１＝ｍ²　から、ｍは奇数でなければならないが、上記の表に
　　　　は偶数の場合も含まれており、明らかに間違いである。

　上記の表の中の赤字の部分が正しい解となりうるものである。

　らすかるさんの検証によれば、ｍの値が１００万までのうち解となるものは、６通りしかなく、
ｍの値を１億程度までにひろげても、解となるものは、わずか９通りしかないそうである。
この検証に要した時間は、わずか２秒とのこと。（スゴイ．．．！）

　らすかるさんからの情報によれば、数列サイト「オンライン整数列大辞典」に既に登録され
ているそうである。
　　　　　　　　　　　　　　ｎ　の数列　　　　　ｍ　の数列