このとき出来るｎ桁の整数で、以下の条件がすべて成り立つのもを探して下さい。
（条件a）
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
･･････････
ｎ桁がｎで割れる。
(1) n=3 (2) n=4 (3) n=5 (4) n=6 (5) n=7 (6) n=8 (7) n=9
での整数はそれぞれ何？
次に、この条件を
（条件b）
下2桁が2で割れる。
下3桁が3で割れる。
下4桁が4で割れる。
･･････････
ｎ桁がｎで割れる。
とし、n=9 で、この条件を全て満たす9桁の整数の中で探そうとすると、下2桁(最後が偶数）
と下5桁(最後が5)となり相反する。
そこで、下5桁の条件は除外し、その他は条件が満たされる9桁の整数の中で、最小と最
大のものは何でしょう？
（コメント） 昔、どこかで聞いたような問題ですね！
(1) n=3 のとき、 ３桁の数は、３の倍数なので、各位の数の和は、３の倍数
可能性は、 ３、６、９、１２、１５、１８、２１、２４、２７ の何れか。
上2桁が2で割れるので、上2桁目は、 ０、２、４、６、８ の何れか。
使える数字は、１、２、３で、各位の数が全て相異なることに注意して、
上2桁目が ２ のとき、３桁の数の可能性は、
１２３、３２１
以上から、３桁の整数の中で、最小値は、１２３ で、最大値は、３２１ である。
(2) n=4 のとき、使える数字は、１、２、３、４で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
4桁が4で割れる。
という条件から、まず、4桁が4で割れるためには、下2桁が4の倍数であればよいので、
その可能性は、 ○○１２、○○２４、○○３２ の３通り
○○１が、３の倍数となることはない。
○○２が、３の倍数となるのは、 １３２、３１２
○○３が、３の倍数となることはない。
以上から、 １３２４、３１２４ で、この中に、上2桁が2で割れるものはない。
よって、n=4 のとき、解なし
(3) n=5 のとき、使える数字は、１、２、３、４、５で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
5桁が5で割れる。
という条件から、一の位は5と確定し、n=4 のときと同様に、解なしとなる。
(4) n=6 のとき、使える数字は、１、２、３、４、５、６で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
上5桁が5で割れる。
6桁が6で割れる。
という条件から、十の位は5と確定し、（千の位，百の位）も可能性は、
（１，２）、（１，６）、（２，４）、（３，２）、（３，６）、（６，４）
また、万の位の可能性は、２、４、６ なので、以上を組み合わせると、可能性は、
○４１２５○、○６１２５○、○２１６５○、○４１６５○、○６２４５○、○４３２５○、
○６３２５○、○２３６５○、○４３６５○、○２６４５○
残りの数字を書き加えて、条件を満たすものを探すと、
３２１６５４ 、１２３６５４
の２通り存在する。
(5) n=7 のとき、使える数字は、１、２、３、４、５、６、７で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
上5桁が5で割れる。
上6桁が6で割れる。
7桁が7で割れる。
という条件から、十の位は5と確定し、n=6 のときと同様に考えて、可能性は、
○４１２５○○、○６１２５○○、○２１６５○○、○４１６５○○、○６２４５○○、○４３２５○○、
○６３２５○○、○２３６５○○、○４３６５○○、○２６４５○○、○４７２５○○、○６７２５○○、
○２７６５○○、○４７６５○○
残りの数字を書き加えて、条件を満たすものはないので、解なしとなる。
(6) n=8 のとき、使える数字は、１、２、３、４、５、６、７、８で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
上5桁が5で割れる。
上6桁が6で割れる。
上7桁が7で割れる。
8桁が8で割れる。
という条件から、十の位は5と確定し、n=7 のときと同様に考えて、可能性は、
○４１２５○○○、○６１２５○○○、○８１２５○○○、○２１６５○○○、○４１６５○○○、
○８１６５○○○、○６２４５○○○、○８２４５○○○、○４２８５○○○、○６２８５○○○、
○４３２５○○○、○６３２５○○○、○８３２５○○○、○２３６５○○○、○４３６５○○○、
○８３６５○○○、○２４８５○○○、○６４８５○○○、○２６４５○○○、○８６４５○○○、
○２６８５○○○、○４６８５○○○、○４７２５○○○、○６７２５○○○、○８７２５○○○、
○２７６５○○○、○４７６５○○○、○８７６５○○○、○２８４５○○○、○６８４５○○○
残りの数字を書き加えて、条件を満たすものを探すと、 ３８１６５４７２ の１通り存在する。
(7) n=9 のとき、n=8 のときの解から、 ３８１６５４７２９ が解であることが直ぐ分かる。
他に解があるかどうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和５年３月１６日付け）
条件aについて
(1)〜(7)共通
条件から、偶数桁目は偶数でなければならない。…(a)
条件から、上から3桁ごとの合計は3の倍数でなければならない。…(b)
(3)〜(7)共通
条件から、5桁目は5でなければならない。…(c)
(1) (a)から 123、321 しかあり得ないが、これはどちらも条件を満たす。
(2) (a)から4桁目は 2 か 4 だが、上3桁が 3 で割り切れるためには4桁目は 4 でなければ
ならない。しかし、3桁目が奇数で、4桁目が4である数は、4で割り切れないので、解なし。
(3) (c)から5桁目は 5 なので、上4桁は(2)を満たさなければならない。よって、解なし。
(4) 使える偶数は 2,4,6 なので、(a)(b)(c)から、下3桁は、456 または 654 でなけれぱなら
ない。
3桁目が奇数で4桁目が4だと上4桁が4で割り切れないので、下3桁は654と決まる。
すると、上3桁は、1,2,3 となり、(1)を満たす必要があるので、上3桁は、123 か 321。
従って、条件を満たす解は、123654 と 321654。
(5) 使える偶数は(4)と同じなので、4桁目〜6桁目は、654。
残る1,2,3,7は足して3で割ると1余るので、7桁目は1か7。
(a)により、7桁目が1の場合は先頭3桁は、327 か 723、7桁目が7の場合は先頭3桁は
123 か 321 と決まるが、3276541、7236541、1236547、3216547 はいずれも7で割り切
れず、解なし。
(6) 使える偶数は、2,4,6,8 であり、3桁目が奇数で上4桁が4で割り切れなければならない
ことから、4桁目は 2 か 6 なので、(a)(b)(c)から4桁目〜6桁目は、258 か 654。
258 のとき、残る数は、1,3,4,6,7 だが、7桁目が奇数で上8桁が8で割り切れるためには、
少なくとも8桁目は4で割り切れない偶数、すなわち、6でなければならず、(a)(b)から
14725836、74125836
654 のとき、残る数は、1,2,3,7,8 だが、7桁目が奇数で上8桁が8で割り切れるためには、
少なくとも8桁目は4で割り切れない偶数、すなわち、2 でなければならず、(a)(b)から、
18365472、38165472、38765412、78365412
このうち「上7桁が7で割り切れ、上8桁が8で割り切れる」を満たすものは、38165472のみ。
(7) (6)と同様に xxx258xxx, xxx654xxx
7桁目が奇数で上8桁が8で割り切れるためには xxx258x6x、xxx654x2x
残りの偶数を2桁目に入れて、 x4x258x6x、x8x654x2x
前者は1桁目と3桁目に1,7を入れなければならないが、(6)から上8桁が14725836、74125836
は条件を満たさないので、可能性があるのは、 147258963、741258963
しかし、いずれも「上7桁が7で割り切れる」という条件を満たさない。
後者は1桁目と3桁目に(1または7)(3または9)を入れなければならないので、可能性がある
のは、
183654729、183654927、189654327、189654723、381654729、381654927、387654129、
387654921、783654129、783654921、789654123、789654321、981654327、981654723、
987654123、987654321
このうち上7桁が7で割り切れるものは、381654729と783654921だが、後者は上8桁が8で割
り切れないので、条件を満たす解は、381654729のみ。
(条件aのまとめ)
(1) 123、321 (2)(3)は解なし。
(4) 123654、321654 (5)は解なし。
(6) 38165472
(7) 381654729
条件bについて、「下2桁が2で割れる」と「下9桁が9で割れる」は無視してよい。
「下4桁が4で割れる」から、
xx12、xx32、xx52、xx72、xx24、xx64、xx84、xx16、xx36、xx56、xx76、xx28、xx48、xx68
「下3桁が3で割れる」の条件を加えて、
x312、x612、x912、x132、x432、x732、x852、x372、x672、x972、x324、x624、x924、x264、
x564、x864、x384、x684、x984、x216、x516、x816、x936、x156、x456、x756、x276、x576、
x876、x528、x348、x648、x948、x168、x468、x768
このうち「下8桁が8で割れる」ものはちょうど半数で、
x312、x912、x432、x672、x624、x264、x864、x384、x984、x216、x816、x936、x456、x576、
x528、x648、x168、x768
残る条件は「下6桁が6で割れる」「下7桁が7で割れる」だが、手作業で全通り計算するのは
非常に大変なので、最小値と最大値だけを考えることにする。
「下6桁が6で割れる」という条件から、上3桁の合計は3の倍数でなければならないので、
上3桁は、
小さい順に、123、126、129、132、135、138、…
大きい順に、987、984、981、978、975、972、…
上3桁が123の場合、下3桁は上記のうち 1,2,3 を含まないものなので、
864、984、456、576、648、768
上から4桁目が4だとすると、下3桁は 576 か 768 なので、
123489576、123498576、123459768、123495768
しかし、これらはいずれも下7桁が7で割り切れない。
上から4桁目が5だとすると、下3桁は、864、984、648、768 なので、候補は、
123579864、123597864、123567984、123576984、123579648、123597648、123549768、
123594768
このうち 123567984 だけ下7桁が7で割り切れて条件bを満たすので、これが最小値。
上3桁が 987 の場合、下3桁は上記のうち 9,8,7 を含まないものなので、
312、432、624、264、216、456
上から4桁目が6だとすると、下3桁は 312 か 432 なので、
987654312、987645312、987651432、87615432
しかし、これらはいずれも下7桁が7で割り切れない。
上から4桁目が5だとすると、下3桁は、312、432、624、264、216 なので、候補は、
987564312、987546312、987561432、987516432、987531624、987513624、987531264、
987513264、987543216、987534216
このうち下7桁が7で割り切れるものは、987564312 と 987516432 の二つであり、
987564312 の方が大きいので、これが最大値。
(条件bの答え) 最小値は 123567984 、最大値は 987564312
以下、工事中！
