ζ(3)=1 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + 1/5^3 + 1/6^3 + 1/7^3 +･････

にはπの姿は現れないが、

　1 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 + 1/9^3 -･････=π^3/32

には、ちゃんとπが出現してくる。

　ここに、

S1=1/(1^3*2^3) + 1/(2^3*3^3) + 1/(3^3*4^3) + 1/(4^3*5^3) +･････

S2=1/(1^3*3^3) + 1/(2^3*4^3) + 1/(3^3*5^3) + 1/(4^3*6^3) +･････

にもπは姿を現します。では、どんなものになるでしょうか？



（コメント）　S1 = 10 - π²　、S2 = (21 - 2π²)/32


　らすかるさんからのコメントです。（令和５年３月１４日付け）

　1/(n^3(n+1)^3)=(6n^2-3n+1)/n^3-(6(n+1)^2+3(n+1)+1)/(n+1)^3　なので、

S1=Σ[n=1〜∞]1/(n^3(n+1)^3)

=Σ[n=1〜∞](6n^2-3n+1)/n^3-(6(n+1)^2+3(n+1)+1)/(n+1)^3

=(6*1^2+3*1+1)/1^3-6ζ(2)

=10-π^2

　1/(n^3(n+2)^3)=(1/16){(3n^2-3n+2)/n^3-(3(n+2)^2+3(n+2)+2)/(n+2)^3}　なので、

S2=Σ[n=1〜∞]1/(n^3(n+2)^3)

=(1/16)Σ[n=1〜∞]{(3n^2-3n+2)/n^3-(3(n+2)^2+3(n+2)+2)/(n+2)^3}

=(1/16){(3*1^2+3*1+2)/1^3+(3*2^2+3*2+2)/2^3-6ζ(2)}

=(21-2π^2)/32



　　以下、工事中！