一概に無限と言われても･･･、

　S₁＝1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋･････＋1/n＋････　(ｎ：自然数)

　S₂＝1/2＋1/3＋1/5＋1/7＋1/11＋･････＋1/p＋････　(p：素数)

は、どちらも収束せず、極限は ∞ になるという。

　そこで、この２つが如何に異質であるかを感じるために、それぞれが初めて「４」を超える
ためには、S₁でのｎ、S₂でのｐの値を求めてほしい。


（コメント）　初めて　S₁>4　となるｎの値は、３１　（←　予想より速かったです！）
　　　　　　５９番目の素数２７７でようやく　S₂＞２　となるので、４を超えるまでには結構かか
　　　　　　る！


　らすかるさんからのコメントです。（令和５年３月１日付け）

　初めて S₂＞4 となる p は、1801241230056600523 ですね。S₁ の方は、昔「初めて100を
超えるn」を求めたことがあります。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年３月１日付け）

　4 を超える p についての論文「Computing Prime Harmonic Sums」があります。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年３月３日付け）

　上記の素数pの逆数だけを加えて行く無限和では驚くべき大量の素数を投入することで、
微小な量ではあるが増加し続けていき、結果的に∞に発散していくが、

　S(r)=1/2^r+1/3^r+1/5^r+1/7^r+1/11^r+1/13^r+･･･

とそのr乗にしたものの無限級数では、

S(2)=0.45224742･･･　(A085548)
S(3)=0.17476263･･･　(A085541)
S'4)=0.07699313･･･　(A085964)
S(5)=0.03575501･･･　(A085965)
･･････････････

と、次々とある一定値に収束するという。

　さて、そこで、これらの極限値で更に、

(1)　S(2)+S(3)+S(4)+S(5)+･･････
(2)　S(2)-S(3)+S(4)-S(5)+･･････

と無限個を処理した結果の値は一体どんなものになるか想像できますか？

　それが

(1)=1/(2*1)+1/(3*2)+1/(5*4)+1/(7*6)+1/(11*10)+1/(13*12)+･････
(2)=1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(7*8)+1/(11*12)+1/(13*14)+･････

であると主張するのです。((1)：「A136141」　(2)：「A179119」)

　信じられますか？

　確かに計算ソフトでのコマンド上では同じ値をはじき出しますが、これはどう解釈できるも
のなんでしょうか。

　もし正しいのなら、無限は人知を超えた部分でとても見事に調和がとれた振る舞いを密か
に紡いでいると思われます。


　らすかるさんからのコメントです。（令和５年３月３日付け）

　(1)は、Σ[k=1〜∞]1/m^k＝1/(m-1)　から

Σ[k=2〜∞]S(k)
=Σ[k=2〜∞]Σ[p∈prime]1/p^k
=Σ[p∈prime]Σ[k=2〜∞]1/p^k
=Σ[p∈prime](1/p)Σ[k=1〜∞]1/p^k
=Σ[p∈prime]1/{p(p-1)}
=1/(2*1)+1/(3*2)+1/(5*4)+1/(7*6)+…

　(2)は、Σ[k=1〜∞](-1)^k/m^k＝-1/(m+1)　から

Σ[k=2〜∞](-1)^k・S(k)
=Σ[k=2〜∞](-1)^k・Σ[p∈prime]1/p^k
=Σ[k=2〜∞]Σ[p∈prime](-1)^k/p^k
=Σ[p∈prime]Σ[k=2〜∞](-1)^k/p^k
=Σ[p∈prime](-1/p)Σ[k=1〜∞](-1)^k/p^k
=Σ[p∈prime]1/{p(p+1)}
=1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(7*8)+…

のようになりますね。



　　以下、工事中！