の組 (x，y，z) は全く存在できないことを教えてくれる。
しかし、数学の世界では、複素数なるものの存在抜きには考えられなくなっており、目をそ
の世界まで広げてみてみれば、
(9 + √23*i)^3 + (9 - √23*i)^3 = 6^3
(16 + √2*i)^3 + (16 - √2*i)^3 = 20^3
或いは、複素数まで広げないまでも
(9 + √5)^3 + (9 - √5)^3 = 12^3
(378 + 357*√2)^3 + 127^3 = (451 + 306*√2)^3
など平気で成立させていく。
そこで、今、z1、z2 を複素数とすれば、
(1) z1^3 + z2^3 = 2^3
(2) z1^4 + z2^4 = 2^4
(3) z1^5 + z2^5 = 2^5
(4) z1^7 + z2^7 = 2^7
の関係式が成立するものは、それぞれ何かを探してほしい。
（コメント） (1) 2^3+0^3=2^3 などという自明な解を除いて、１つ解を見つけました。
一つの例として、（２＋√（２/３）ｉ）^3＋（２−√（２/３）ｉ）^3＝２^3
解は無数にあると思われます。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年２月２４日付け）
何でもありなら
(1) z1=z2=[3]√4
(2) z1=z2=[4]√8
(3) z1=z2=[5]√16
(4) z1=z2=[7]√64
などの全く面白くない解がありますね。
(追記) これも面白くないですが、一般解も書けますね。
(1) (z1，z2)=(t，3]√(8-t^3))
(2) (z1，z2)=(t，[4]√(16-t^4))
(3) (z1，z2)=(t，[5]√(32-t^5))
(4) (z1，z2)=(t，[7]√(128-t^7))
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年２月２５日付け）
皆さん勿論正解なんですが、意外性を考慮して一応次のようなものが成り立つことが起き
ました。
(4 + √5*i)^3 + (4 - √5*i)^3 = 2^3
(1 + √7*i)^4 + (1 - √7*i)^4 = 2^4
(1 + √3*i)^5 + (1 - √3*i)^5 = 2^5
(√(9 + √5)/√3)^6 + (√(9 -√5)/√3)^6 = 2^6
(1 + √3*i)^7 + (1 - √3*i)^7 = 2^7
他にも
(4 + √109)^3 + (4 - √109)^3 = 14^3
(1 + √457)^3 + (1 - √457)^3 = 14^3
(36 + √89*i)^3 + (36 - √89*i)^3 = 42^3
((-1 + √3*i)/2)^p + ((-1 - √3*i)/2)^p = (-1)^p (ｐ≡0 (mod 3)でない任意の自然数)
etc
なお、平方では、
(9 + √17)^2 + (9 - √17)^2= 14^2
(5 + √73)^2 + (5 - √73)^2= 14^2
(3 + √89)^2 + (3 - √89)^2= 14^2
(1 + √97)^2 + (1 - √97)^2= 14^2
などが成立していく。
もっと意外性を感じるものを見つけられたらお教え下さい。
以下、工事中！
